NOTION Étude-de-la-fonction-sinus

La trigonométrie

Étude de la fonction sinus
Propriété
Parité et périodicité de la fonction sinus
Soit x un réel. La fonction sin est :
• impaire : sin(−x) = − sin(x)
• 2π-périodique : sin(x + 2π) = sin(x)

Exemple
√
(
)
( )
• sin − π3 = − sin π3 = − 23

• sin

( 7π )
3

= sin

(π
3

)
( )
+ 2π = sin π3 =

√

3
2

Remarque
• Lorsqu’une

fonction

représentation

est

impaire,

sa

graphique

présente

une

symétrie par rapport à l’origine.

Cela

permet d’en faciliter l’étude.
Propriété
Dérivée de la fonction sinus
La fonction sin est continue et dérivable sur R.
• sin′ = cos
Propriété
Tableau de variation de la fonction sinus
La fonction sin étant 2π-périodique, il suffit de
l’étudier sur l’intervalle [0; 2π] pour connaître son
comportement sur R.

Propriété
Tangente en 0
En appliquant la définition du nombre dérivé à sin
en 0, on reconnaît la limite suivante :
• limx→0 =

sin(x)
x

= sin′ (0) = cos(0) = 1

Propriété
Dérivée de sin(ax + b)
Soient a et b des réels.
• La fonction définie sur R par sin(ax + b) est
continue et dérivable sur R.
  En appliquant le théorème des dérivées de
fonctions composées, on obtient pour tout réel x
:
• sin′ (ax + b) = a cos(ax + b)