DEMO Calcul-de-limite-faisant-intervenir-des-fonctions-trigonométriques

Le 20-03-2019

La trigonométrie

Calcul de limite faisant intervenir
des fonctions trigonométriques
Que vaut limx→+∞ sin(x) + x2 ?

Etape 1 : Essayer d’avoir une intuition… et
d’être malin !
Astuce n°1 : quand tu dois calculer des limites il faut
toujours essayer d’avoir une intuition. 
• Ici, on voit bien que quand x sera très grand, x2
sera très très grand, alors que sin(x) restera compris
entre -1 et 1.
• Donc la somme des deux sera forcément très très
grande aussi.
• Donc il y a de bonnes chances que limx→+∞ sin(x)+
x2 = +∞
Astuce n°2 : quand tu dois calculer des limites avec des
cos et des sin, essaie toujours d’encadrer ces fonctions
par −1 et 1. Cela peut très souvent te débloquer !
• Ici, comme notre intuition nous dit de démontrer
que la limite est +∞, on va surtout essayer de
minorer f par une autre fonction qui tend vers +∞.
• On

pourra

alors

utiliser

le

théorème

de

comparaison de limites !

Etape 2 : Minorer l’expression en utilisant les
propriétés de sin
• Dans ce cas précis, on peut minorer l’expression
sin(x) + x2 à l’aide du fait que pour tout réel x :
– −1 ≤ sin(x)
• En effet, cela permet de dire que pour tout réel x,
on a :
– −1 + x2 ≤ sin(x) + x2

Etape 3 :

Calculer la limite qui va te

permettre de comparer
Il s’agit ici d’un polynôme de degré 2, dont on connaît la
limite en +∞ :
• limx→+∞ −1 + x2 = limx→+∞ x2 = +∞

Etape 4 : Conclure
Comme sin(x)+x2 est minorée par une fonction qui tent
vers +∞ en +∞, par comparaison on en déduit que :
• limx→+∞ sin(x) + x2 = +∞