DEMO Utiliser-le-raisonnement-par-récurrence

Le 20-03-2019

Les suites

Utiliser le raisonnement par
récurrence
Soit (un ) la suite définie par u0 = 0 et un+1 = 2un + 1.
On cherche à démontrer par récurrence la propriété
P (n) selon laquelle un = 2n − 1, pour tout entier naturel
n.

Etape 1 : Initialiser le raisonnement
• u0 = 0 et 20 − 1 = 1 − 1 = 0.
Donc P (0) est vraie.

Etape 2 : Prouver l’hérédité
Soit k un entier naturel.
• On suppose que P (k) est vraie (donc uk = 2k − 1) et
on étudie l’expression de P (k + 1).
• L’énoncé dit que uk+1 = 2uk + 1.
• Donc uk+1 = 2 × (2k − 1) + 1 = 2k+1 − 2 + 1 = 2k+1 − 1.
Donc P (k + 1) est vraie.

Etape 3 : Conclure
D’après le principe de récurrence, P (n) est vraie pour
tout entier naturel n.