DEMO Une-suite-minorée-par-une-suite-divergeant-vers-infty-diverge-vers-infty-comparaison

Le 20-03-2019

Les suites

Une suite minorée par une suite
divergeant vers +∞ diverge vers +∞
(comparaison)
Théorème
Soient (un ) et (vn ) deux suites telles que limn→+∞ (un ) =
+∞, et telles qu’à partir d’un certain rang vn ≥ un .
Alors limn→+∞ (vn ) = +∞.
Démonstration

• Soit A un réel et I l’intervalle défini par ]A; +∞[. 
– limn→+∞ (un ) = +∞
– Donc par définition, il existe donc un entier
n1 tel que, pour tout n ≥ n1 , un appartient à
l’intervalle I (c’est à dire un > A).
• Par ailleurs, il existe d’après l’énoncé un entier n2 tel
que pour tout n ≥ n2 , vn ≥ un
• Soit N l’entier égal au maximum de n1 et n2 . Pour
tout n supérieur à N :
– vn ≥ un et un ≥ A
– donc vn ≥ A
• Cette propriété est vraie pour tout réel A.
• Donc d’après la définition d’une suite divergente,
on a démontré que limn→+∞ (vn ) = +∞.
Remarque : entraîne-toi à prouver de façon symétrique
qu’une suite majorée par une suite divergeant vers −∞
diverge aussi vers −∞.