NOTION Indépendance

Le 20-03-2019

Les probabilités discrètes

Indépendance
Définition
Évènements indépendants
Soient A et B deux évènements, p(A) ̸= 0.
On dit que A et B sont indépendants lorsque la
réalisation de l’un n’influe pas sur la probabilité de
réalisation de l’autre.
• Si A et B sont indépendants, alors pA (B) =
p(B).
Remarque
Attention de ne pas confondre évènements
indépendants et évènements incompatibles !
• Deux évènements indépendants n’influent
pas l’un sur l’autre mais peuvent apparaître
simultanément.

Ex.

: « la voiture est

grande » et « la voiture est blanche ».
• Deux

évènements

incompatibles

ne

peuvent pas apparaître simultanément.
Ex. : « la voiture est grande » et « la voiture
est petite ».
Exemple
En reprenant notre exemple d’usine, on a vu que
:
• pD (T̄ ) = 0, 9
• p(T̄ ) = 0, 188
Les deux résultats n’ont rien à voir, c’est bien que
les évènement T̄ et D ne sont pas indépendants,
ils sont intrinsèquement liés. En effet, le test est
fait pour détecter si une pièce est défectueuse.
Propriété
Indépendance et intersection
Soient A et B deux évènements.
En reprenant la formule sur la probabilité de
l’intersection vue plus haut, on obtient :
• A et B indépendants ⇔ p(A∩B) = p(A)×p(B)
Remarque
C’est en pratique le résultat dont l’on se sert pour
prouver que deux éléments sont indépendants,
ou quand on utilise l’hypothèse d’indépendance
de deux évènements.
Ce résultat est intéressant car il n’exclue pas le cas
p(A) = 0.
Exemple
On lance un dé.
• L’évènement A « le résultat est pair » a pour
probabilité p(A) = 12 .
• L’évènement B « le résultat est 6 » a pour
probabilité p(B) = 16 .
• L’évènement C « le résultat n’est ni 1 ni 2 » a
pour probabilité p(B) =
• p(A ∩ B) =

1
6

4
6

= 23 .

̸= p(A) × p(B) =

1
2

×

1
6

donc A

et B ne sont pas indépendants.
• p(A ∩ C) =

2
6

=

1
3

= p(A) × p(C) =

1
2

×

2
3

donc

A et C sont indépendants.
Théorème
Indépendance et évènements contraires.
• Si

A

et

B

sont

deux

évènements

indépendants, alors A et B̄ indépendants.
Remarque
La démonstration de ce théorème est exigible.
Retrouve-la dans l’onglet « Démonstrations » de
cette fiche.
Remarque
Ce théorème se comprend assez aisément :
• en disant que A et B sont indépendants,
on dit que le fait que A soit ou non réalisé
n’influe pas sur la probabilité que B se
réalise.
• Or, si la probabilité que B se réalise n’est pas
modifiée, la probabilité qu’il ne se réalise pas
ne l’est pas non plus (car P (B̄) = 1 − P (B)).
• Donc A et B̄ sont indépendants.