DEMO Utiliser-l’indépendance-et-la-loi-binomiale

Le 20-03-2019

Les probabilités discrètes

Utiliser l’indépendance et la loi
binomiale
Raph, tous les matins, hésite pour son petit déjeuner
entre un bol de céréales et des tartines de pain. Pour
trancher, il lance un dé et une pièce de monnaie. Si le
résultat du dé est supérieur ou égal à 3, et si la pièce
tombe sur pile, il choisit le bol de céréales, dans tous les
autres cas, il opte pour les tartines.  
1-Quelle est la probabilité que Raph mange des
céréales un matin donné? 
2-Quelle est la probabilité que Raph mange des céréales
plus de 4 fois au cours d’une semaine de cours (5 jours)?

Etape

1

:

Traduire

et

interpréter

mathématiquement l’énoncé
Soit D l’évènement « le résultat du dé est supérieur ou
égal à 3 ».
Soit P l’évènement « le pièce retombe sur pile ».
Soit C l’évènement « Raph mange des céréales ».
• p(C) = p(D ∩ P )
• Il te faut noter une information implicite de
l’énoncé : D et P sont indépendants. En effet, le
résultat du dé n’a aucune influence sur celui de la
pièce et vice versa.
• De même, le petit déjeuner de Raph d’un certain
jour n’a pas d’influence sur celui du jour suivant.
 
• On cherche p(C).
  Soit X la variable aléatoire comptabilisant le nombre
de fois où Raph mange des céréales dans sa semaine.
• L’expérience consiste à répéter 5 fois et de façon
indépendante la même épreuve de Bernoulli de
probabilité de succès p(C).

X suit donc la loi

binomiale B(5; p(C)).
• On cherche p(X ≥ 4).

Etape 2 :

Exploiter l’indépendance des

évènements
Comme D et P sont indépendants, p(C) = p(D ∩ P ) =
p(D) × p(P ).
• Or, p(D) est la probabilité d’obtenir 3, 4, 5, ou 6 au
lancer de dé. Donc p(D) =

1
6

1
6

+

+

1
6

+

1
6

= 23 .

• La probabilité de tomber sur pile au lancer de pièce
est de 21 .
• Donc p(C) =

×

2
3

1
2

= 13 .

  Donc Raph a une probabilité de manger des céréales
le matin de 31 .

Etape 3 : Utiliser la loi binomiale
X suit donc la loi binomiale B(5; 13 )  
p(X ≥ 4) = p(X = 4) + p(X = 5)
()
()
= 54 × ( 13 )4 × (1 − 13 )5−4 + 55 × ( 13 )5 × (1 − 13 )5−5
= 5 × ( 13 )4 × ( 23 ) + 1 × ( 13 )5 × 1
= 5 × ( 31 )5 × 2 + ( 13 )5
= 11 × ( 13 )5 =

11
35

≈ 0, 045  

Donc Raph a environ 4, 5 % de chances de manger
4 fois des céréales pour son petit déjeuner dans la
même semaine.

Etape 4 : Remarques
• Continue à t’entraîner en calculant l’espérance et
l’écart-type de X.
– E(X) = 5 ×

1
3

=

5
3

≈ 1, 7

                    Raph peut s’attendre à, en moyenne, manger
1, 7 fois des céréales par semaine.
– σ(X) =

1
3

× (1 − 13 ) =

10
9

≈ 1, 05

                    En moyenne le nombre de jours où Raph
mangera des céréales variera donc d’à peu près 1 jour
autour de l’espérance d’1, 7 jours.  
• L’indépendance de deux évènements sera souvent
soulignée par l’énoncé. Dans ce cas, il faudra tout
de suite avoir le réflexe de mobiliser le formule de la
probabilité de l’intersection, ou tes connaissances
sur la loi binomiale.
• Lorsque l’indépendance n’est pas explicitement
soulignée, reste attentif pour identifier les cas,
comme ici, où l’indépendance est évidente.