NOTION Notation-exponentielle

Le 20-03-2019

Les nombres complexes

Nombres complexes et géométrie
Notation exponentielle
Définition
Notation exponentielle d’un nombre
Soit θ un réel.
• eiθ = cos(θ) + i sin(θ)
Définition
Notation exponentielle d’un nombre complexe
Soit z un nombre complexe de module r et
d’argument θ + 2kπ.
• z = reiθ
Exemple
π

• i = ei 2

• 1+i=

√ π

2(cos( π4 ) + i sin( π4 )) = 2ei 4

Propriété
Opérations sur les exponentielles
Soit θ et θ′ deux nombres réels.

• eiθ × eiθ = ei(θ+θ )

1
eiθ

eiθ
eiθ′

= e−iθ

= ei(θ−θ )

• (eiθ )n = einθ pour tout entier n.
Propriété
Relation entre cosinus,
exponentielle
Soit θ un nombre réel.
• e−iθ = cos(θ) − i sin(θ)
• cos(θ) =

eiθ +e−iθ
2

• sin(θ) =

eiθ −e−iθ
2i

sinus et notation