DEMO Déterminer-les-paramètres-à-partir-de-probabilités

Le 20-03-2019

Les lois à densité

Déterminer les paramètres à partir
de probabilités
La taille d’un individu pris au hasard dans une certaine
population suit une loi N (m; σ 2 ).
On sait que 99, 7 % des individus de cette population
mesurent plus de 1, 30 m et moins de 1, 90 m.
Détermine m et σ.

Etape 1 :

Traduire mathématiquement

l’énoncé
• Soit T la variable aléatoire représentant la taille
d’un individu en mètres.
• T suit la loi N (m; σ 2 ).
• P (1, 3 ≤ T ≤ 1, 9) = 0, 997
• On cherche m et σ.

Etape 2 : Se ramener aux formules de cours
On reconnaît directement la donnée 0, 9985. En effet le
cours affirme que :
• P (m − 3σ ≤ T ≤ m + 3σ) ≈ 0, 997.

Etape 3 : Poser et résoudre les équations qui
en découlent
On en déduit le système d’équations :
• 1, 3 = m − 3σ
• 1, 9 = m + 3σ
Alors, en additionnant les deux équations :
• 3, 2 = 2m ⇒ m = 1, 60 m.
Et donc en reportant dans la première équation :
• 1, 3 = 1, 6 − 3σ ⇒ 3σ = 1, 6 − 1, 3 = 0, 3
• ⇒σ=

0,3
3

= 0, 10 m.

Etape 4 : Vérifier
Après avoir résolu un système d’équations, pense à
vérifier que tu n’as pas fait d’erreur.
• 1, 6 − 3 × 0, 1 = 1, 3 Ok.
• 1, 6 + 3 × 0, 1 = 1, 9 Ok.

Etape 5 : Conclure
• La taille des individus de cette population suit une
loi N (1, 60; 0, 01).
Attention à bien mettre σ au carré.
• Les individus mesurent en moyenne 1, 60 m, avec
un écart type de 10 centimètres.