DEMO Calculer-l’intersection-de-deux-plans

Le 20-03-2019

La géométrie dans l’espace

Calculer l’intersection de deux plans
Dans

un

repère

l’intersection

des

orthonormé
plans

(P )

et

(O;⃗i; ⃗j; ⃗k),
(P ′ )

calcule

d’équations

cartésiennes respectives (P ) : x − y + 2z − 1 = 0,
(P ′ ) : x − z + 1 = 0.

Etape 1 : Déterminer un vecteur normal pour
chacun des deux plans
Un vecteur normal à (P ) est : ⃗n(1; −1; 2).
Un vecteur normal à (P ′ ) est : n⃗′ (1; 0; −1).

Etape 2 : Étudier la colinéarité des vecteurs
normaux
On sait que :
• si les vecteurs normaux sont colinéaires :

les

deux plans sont soit confondus soit strictement
parallèles ;
• si les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires : les
deux plans ont pour intersection une droite.
Ici, il ne sont pas colinéaires car sinon il existerait t tel
que ⃗n = tn⃗′ . En regardant l’égalité selon l’ordonnée, on
obtiendrait −1 = t × 0 = 0, ce qui n’est pas possible.
Ainsi les plans s’intersectent selon une droite (d).

Etape

3

:

Calculer

une

équation

paramétrique de la droite (d)
La droite est l’ensemble des points dont les coordonnées
vérifient les équations cartésiennes de (P ) et de (P ′ ),
c’est-à-dire qui vérifient le système :
• x − y + 2z − 1 = 0
• x−z+1=0
Pour en déduire une équation paramétrique, il suffit de
poser une coordonnée égale au paramètre ; ici on a
choisi (de manière arbitraire) z.
• x − y + 2z − 1 = 0
• x−z+1=0
• z=t
Ainsi en remplaçant z par t dans les deux équations :
• x − y + 2t − 1 = 0
• x−t+1=0
• z=t
Et donc :
• x − y + 2t − 1 = 0
• x=t−1
• z=t
En remplaçant x par son expression en fonction de t on
trouve :
• −y + 3t − 2 = 0
• x=t−1
• z=t
Et donc l’équation paramétrique de la droite (d) est :
• x=t−1
• y = 2 − 3t
• z=t