DEMO Calcul-dun-taux-moyen-à-partir-dune-équation-de-la-forme-x^n-k-avec-k-0-et-n-in-N

Le 20-03-2019

Le logarithme népérien

Calcul d’un taux moyen à partir
d’une équation de la forme xn = k
avec k > 0 et n ∈ N
Résous l’équation (1 + t)5 = CM = 3 avec CM le
coefficient multiplicateur global sur 5 ans et t le taux
moyen.

Etape 1 : Reconnaître une équation de la
forme xn = k
Si tu poses :
• x=1+t;
• k = CM = 3 ;
• et n = 5 ;
• tu retrouves une équation de la forme xn = k ;
• tu vérifies bien que n = 5 est un entier naturel et
que k = 3 > 0.
On peut alors appliquer la formule du cours. Allons-y !

Etape 2 : Se souvenir de la formule du cours
Soit n ∈ N et k > 0.
L’unique solution dans ]0; +∞[ de l’équation xn = k est :
1

• x = kn

Etape 3 : Appliquer la formule
Dans ce cas, tu obtiens que l’unique solution est :
1

• x = 1 + t = 3 5 (qui est aussi la racine cinquième de
3).
1

• Donc t = x − 1 = 3 5 − 1.

Etape 4 : Vérifier la solution trouvée
Pour éviter toute erreur de calcul ou d’étourderie, pense
bien à chaque fois à vérifier ton résultat !
1

Pour cela, remplace t par 3 5 − 1 :
• (1 + 3 ^1 5 – 15 = (3 ^1 55 = 3^1 5×5 = 3 = CM

Etape 5 : Conclure
1

L’unique solution de l’équation (1+t)5 = 3 est t = 3 5 −1 ≈
0, 25.
• Le taux moyen d’évolution annuel est donc
d’environ 25 %.