NOTION Fonction-dérivée-et-sens-de-variation

Le 20-03-2019

Dérivation,

continuité

et

convexité

Rappels sur dérivée, tangente et
variation
Fonction dérivée et sens de variation
Propriété
Étude du sens de variation d’une fonction avec
sa dérivée
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Soit J un sous-ensemble de I.
• Si f ′ ≥ 0 sur J alors f est croissante sur J.
– Si f ′ > 0 sur J alors f est strictement
croissante sur J.
• Si f ′ ≤ 0 sur J alors f est décroissante sur J.
– Si f ′ 0 sur J

est une propriété fausse comme on peut s’e
convaincre
fonction
et

qui

à

l’aide

cube
est

dont

pourtant

du
la

contre-exemple
dérivée

strictement

de

s’annule

en

croissante

s

R.C’est précisément le sujet de la partie IV avec les
Exemple
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x2 − x =
x(x − 1).
• f ′ est la fonction définie par f ′ (x) = 2x − 1 sur
R.
• f ′ (x) ≤ 0 pour x ≤ 12 , donc f est décroissante
sur ] − ∞; 12 ].
• f ′ (x) ≥ 0 pour x ≥ 12 , donc f est décroissante
sur [ 12 ; −∞[.
Propriété
Extremum local d’une fonction et dérivée
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle
ouvert I et a un réel de I.
• Si f admet un extremum local en a, alors
f ′ (a) = 0 et f ′ change de signe en a.
• Réciproquement, si f ′ (a) = 0 et f ′ change de
signe en a, alors f admet un extremum local
en a.
Exemple
Soit f la fonction définie par f (x) = x2 −x = x(x−1)
et dérivable sur R.
• f ′ (x) = 2x − 1
• f ′ ( 12 ) = 0 et f ′ change de signe en 12 .
• Donc f admet un minimum local en 21 .
Définition
Tableau de variation
Un tableau de variation est une façon de
représenter

le

comportement

(croissance

/

décroissance) d’une fonction sur son intervalle de
définition. On y représente très souvent le signe
de la fonction dérivée puisque c’est de lui qu’on
déduit les variations de la fonction.
Remarque
Convention dans le tableau de variation
La convention est que « une flèche qui monte
» représente la stricte croissance (de même, «
une flèche qui descend » représente la stricte
décroissance) et qu’une flèche sans interruption
signifie que la fonction est continue (voir III
ci-dessous).
Exemple