DEMO Déterminer-la-position-relative-d’une-courbe-et-de-sa-tangente-en-un-point

Le 20-03-2019

La dérivation

Déterminer la position relative d’une
courbe et de sa tangente en un point
On considère la fonction f définie par f (x) = 4×3 − 8×2 +
x − 1 et Cf sa courbe représentative.
Détermine une équation de la tangente T à Cf au point
d’abscisse 12 .
Détermine aussi la position relative de T par rapport à
Cf .

Etape 1 :
f est une fonction polynomiale de degré 3, donc f est
dérivable sur R.

Etape 2 : Calculer la dérivée de f
On calcule la fonction dérivée de f , qui est une fonction
polynomiale :
• f ′ (x) = 12×2 − 16x + 1

Etape 3 : Calculer le nombre dérivé de f en 1
• f ′ (1) = 12 × 12 − 16 + 1
Donc :
• f ′ (1) = −3

Etape 4 : En déduire une équation de T
D’après le cours, une équation de la tangente en un
point d’abscisse a est de la forme :
• y = f ′ (a) (x − a) + f (a)
Ainsi, une équation de la tangente à Cf au point
d’abscisse 1 est :
• y = f ′ (1) (x − 1) + f (1)
• donc y = −3(x − 1) + (4 − 8 + 1 − 1)
• donc y = −3x − 1
La tangente à Cf a donc pour équation y = −3x − 1.

Etape 5 : Calculer f (x) − y
Pour déterminer la position relative des deux courbes on
commence par calculer l’expression « f (x) − y » :
• f (x) − (−3x − 1) = 4×3 − 8×2 + x − 1 + 3x + 1
• Donc f (x) − (−3x − 1) = 4×3 − 8×2 + 4x
• En factorisant : f (x) − (−3x − 1) = x(4×2 − 8x + 4)
• Avec les identités remarquables : f (x) − (−3x − 1) =
x(2x − 2)2

Etape 6 : Déterminer la position relative des
courbes
• f (x) − y = x(2x − 2)2
• Or (2x − 2)2 est toujours positif (puisque c’est un
carré) et s’annule pour x = 1.
• On en déduit le signe de f (x) − y :
– sur ] − ∞; 0[, f (x) − y < 0
* donc f (x) 0
* donc f (x) > y ce qu’on peut lire comme «
Cf est au-dessus de T ».
– en 0 et en 1, f (x) = y
* donc Cf et T se touchent aux points
d’abscisses 0 et 1.