NOTION Calcul-de-primitives

Le 20-03-2019

Intégrales et primitives

Les primitives
Calcul de primitives
Primitives usuelles
En pratique, lorsqu’on cherche les primitives
d’une fonction, on utilise notre connaissance des
dérivées usuelles, dans l’autre sens.
 
Dans le tableau suivant, n est un entier relatif et a
et b sont des nombres réels.
Fonction  

Primitives (pour tout réel k)

Domaine

ax + k
xn+1 + k
n+1
xn+1 + k
n+1

R

a
xn (n ≥ 1)
xn (n ≤ −2)

 

R
] − ∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[

1
x
√1
x

ln(x) + k

2 x+k

]0 ; +∞[

cos(x)

sin(x) + k

R

sin(x)
ex

− cos(x) + k
ex + k

R

1 sin(ax + b)
a
− 1 cos(ax + b)
a

R

cos(ax + b) (a ̸= 0)
sin(ax + b) (a ̸= 0)

]0 ; +∞[

R

R

Exemple
• Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x2 .
Ses primitives sont donc de la forme : F (x) =
x3
3

+ k, k ∈ R.

• Soit f la fonction définie sur R par f (x) =
= x−2 . Ses primitives sont donc de la

2
x2

forme : F (x) =

x−2+1
−2+1

+k =

x−1
−1

+ k = − x1 + k,

k ∈ R.

Primitives de composées de fonctions
Parfois, les expressions sont plus compliquées, et
le tableau précédent ne suffit pas.  
Dans le tableau suivant, n est un entier relatif,
a et b sont des nombres réels et u et v sont des
fonctions dérivables sur I.
Fonction  
u′ (ax + b)
u′ un (n ≥ 0)

 

u′ un (n ≤ −2)
u′
u
u′

u
u′ eu

Primitives (pour tout réel k)
u(ax+b)
+k
a
un+1 + k
n+1
un+1 + k
n+1

Conditions
 
 
pour tout x de I, u(x) ̸= 0

ln(u) + k

2 u+k

pour tout x de I, u(x) > 0

eu + k

 

pour tout x de I, u(x) > 0

Exemple
2

Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 2xex .
• f est de la forme u′ eu avec u(x) = x2 ». En
effet, x 7→ 2x est bien la dérivée de x 7→ x2 .
• Donc selon le tableau précédent, f admet
pour primitives les fonctions de la forme :
2

ex + k.
Remarque
Toutes ces formules découlent de la formule de
dérivation d’une composée de fonctions :
• (f ◦ u)′ = u′ × f ′ ◦ u
appliquée dans le sens inverse.
Même si tu n’es pas officiellement censé la
connaître par coeur, sa connaissance te permettra
de t’en sortir, même si tu as oublié les formules
ci-dessus.
Remarque
Ces formules te sauveront souvent la mise,
mais il faudra parfois aussi être prêt à réfléchir
et improviser un peu :

les fonctions ne

correspondront pas toujours parfaitement à
une de ces formes (jette un oeil du côté des
exercices À savoir refaire).  
Trouver des primitives demande souvent un
peu d’intuition et de confiance en soi. N’aie pas
peur de prendre un brouillon et d’essayer plein
de choses, soit pour te ramener à une des formes
du tableau, soit pour trouver une astuce qui te
mènera à la solution !