NOTION Loi-uniforme

Les lois à densité

Lois à densité usuelles
Loi uniforme
Définition
Loi uniforme
Soient a et b deux réels, a < b.
La loi uniforme sur l’intervalle [a; b] est la loi de
probabilité continue dont la densité est définie
pour tout t ∈ [a; b] par :
• f (t) =

1
b−a

Remarque
• Il faut rapprocher cette loi de la situation
d’équiprobabilité

vue

discrètes

les

:

ici

uniformément

en

probabilités

probabilités

réparties

sur

sont

l’intervalle,

il n’y a pas d’intervalle plus probable qu’un
autre de même taille.
• On peut vérifier facilement que
1
b−a

∫b

1
dt
a b−a

=

× (b − a) = 1. f est donc bien une densité

de probabilité.
Exemple
La loi uniforme sur [1; 3] a pour densité la fonction
constante sur [1; 3] :
• f (t) =

1
2

Probabilité et loi uniforme
Soient a et b deux réels, a < b.
Soient c et d deux réels de [a; b], c ≤ d.
Soit X une variable aléatoire suivant la loi
uniforme sur [a; b].
• P (X ∈ [c; d]) =

d−c
b−a

Exemple
Si X suit la loi uniforme sur [1; 3], on a :
• P (X ∈ [1, 5; 2]) =

2−1,5
3−1

=

0,5
2

=

1
4

Remarque
• Cela se retrouve facilement en calculant
∫d 1
dx.
c b−a
• Étant donné que les probabilités sont
uniformément

réparties,

calculer

la

probabilité que X appartienne à l’intervalle
[c; d] revient à faire un rapport de proportion
entre la taille de [c; d] et [a; b].
Par exemple, si celui-ci représente la moitié de
[a; b], on a forcément 50 % de chances (soit une
probabilité de 21 ) que X soit dans cet intervalle.

Espérance et loi uniforme
Soient a et b deux réels, a < b.
L’espérance de la loi uniforme sur [a; b] se calcule
de la manière suivante :
• E=

a+b
2

Remarque
• Ce résultat se retrouve facilement à partir de
l’expression générale de l’espérance d’une
loi à densité sur un intervalle présentée dans
la partie précédente.
•

a+b
2

est le milieu du segment [a; b].

Il

est cohérent pour une loi uniforme que
la moyenne des résultats corresponde au
milieu du segment : il n’y en a pas plus en
dessous qu’au dessus de cette valeur.