NOTION La-relation-fonctionnelle-du-logarithme-népérien

Le logarithme népérien

Définition et propriétés du
logarithme népérien
La relation fonctionnelle du logarithme
népérien
Propriété
Valeurs

remarquables

de

la

fonction

exponentielle
• ln(1) = 0
• ln(e) = 1
Propriété
Relation

fonctionnelle

(logarithme

d’un

produit)
Soient a et b deux réels strictement positifs.
• ln(a × b) = ln(a) + ln(b)
Remarque
• La fonction ln transforme donc les produits
en sommes.
• À l’inverse, tu te souviendras que la fonction
exp transforme les sommes en produits. Ex. :
ea+b = ea × eb
Propriété
Logarithme d’un quotient
Soient a et b deux réels strictement positifs.
( )
• ln ab = ln(a) − ln(b)
• ln

(1)
b

= − ln(b)

Exemple
• ln
• ln

(3)
2

(1)
2

= ln(3) − ln(2)
= ln(1) − ln(2) = − ln(2)

Propriété
Logarithme d’une puissance entière positive
Soit a un nombre réel strictement positif et n un
entier naturel relatif.
• ln(an ) = n ln(a)
Exemple
ln(4) = ln(22 ) = 2 ln(2)
Remarque
Toutes ces propriétés découlent de la relation
fonctionnelle, tu pourras donc les retrouver
facilement à partir de celle-ci si jamais tu ne te
souviens pas de toutes.
Propriété
Logarithme d’une puissance q > 0
Soit a un nombre réel strictement positif et q > 0.
• ln(aq ) = q ln(a) ;
• ce qui équivaut à q x = eln(q) .