NOTION La-fonction-exponentielle-de-base-e

Le 20-03-2019

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle de base e
Définition
Fonction exponentielle
Il existe une unique fonction exponentielle ayant
pour nombre dérivé en 0 le nombre 1.
On

appelle

cette

fonction

la

fonction

exponentielle de base e.
Cette fonction est notée exp et est définie sur R :
• exp(x) = ex

Remarque
Par abus de langage, « la fonction exponentielle
de base e » sera plus simplement appelée « la
fonction exponentielle ».
Propriété
Propriétés de calculs avec l’exponentielle
Soient a et b deux nombres réels et n un nombre
réel.
On a :
• exp(1) = e1 = e
• exp′ (0) = 1
• exp(a + b) = exp(a) × exp(b)
• (exp(a))n = exp(na)
• exp(a − b) =
• exp(−b) =

exp(a)
exp(b)

1
exp(b)

Théorème
Résolution d’équation du type ea = eb
Deux exponentielles de base e sont égales si et
seulement si leurs exposants sont égaux.
Ainsi :
• résoudre l’équation ea

=

eb revient à

résoudre a = b.
Exemple
• e2x+1 = e6 ⇔ 2x + 1 = 6 ⇔ x = 52 .
2

• ex

+4

= e4x ⇔ x2 + 4 = 4x ⇔ x2 − 4x + 4 = 0.

– Résoudre cette équation revient donc
à

résoudre

degré x

2

l’équation

− 4x + 4

=

du

second

0 dont on

sait (en reconnaissant une identité
remarquable)

qu’elle

admet

une

unique solution : 2.
Remarque
ex > 0 sur R, donc l’équation ex = z n’a pas de
solution pour z ≤ 0.