NOTION Étude-de-la-fonction-exp

Le 20-03-2019

La fonction exponentielle

Étude de la fonction exp
Théorème
Dérivée de la fonction exponentielle
On admet que la fonction exponentielle est
dérivable sur R et que sa dérivée est :
• exp′ (x) = exp(x)
La dérivée de la fonction exponentielle (de base e)
est la fonction exponentielle (de base e).
Exemple
Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = ex +x+2.
f est dérivable sur R, et d’après les formules de
dérivées usuelles :
• f ′ (x) = ex + 1
Propriété
Signe

et

monotonie

de

la

fonction

exponentielle
• La fonction exponentielle est strictement
positive sur R.
– Pour tout réel x, exp(x) > 0.
• La fonction exponentielle est strictement
croissante sur R.
Théorème
Convexité de la fonction exponentielle
On a :
• f ′′ (x) = exp′′ (x) = (exp(x))′ = exp(x) > 0
La dérivée seconde de exp étant strictement
positive, la fonction exponentielle de base e est
convexe sur R. Graphiquement, cela signifie que
la courbe Cexp est située au-dessus de sa tangente.

Exemple
La tangente à Cexp en 0 a pour équation y =
exp′ (0)(x−0)+exp(0) = x+1, donc la courbe Cexp est
située au dessus de la droite d’équation y = x + 1.
Théorème
Résolution d’inéquation du type ea ≤ eb
Soient A et B deux réels.
La fonction exp étant strictement croissante sur R,
on a l’équivalence suivante :
• eA ≤ eB ⇔ A ≤ B

Exemple
eB ≥ 1 ⇔ eB ≥ e0 ⇔ B ≥ 0
Remarque
Il n’existe aucun réel r tel que exp(r) ≤ 0.