NOTION Continuité

Le 20-03-2019

Dérivation,

continuité

et

convexité

Continuité et équation f (x) = k
Continuité
Définition
Notion intuitive de continuité
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de
R.
Dire que f est continue sur I signifie que sa courbe
représentative peut être tracée en une seule fois
sans lever le crayon (la courbe ne présente aucun
saut, aucun trou).
Exemple
Dans l’image de gauche, on voit que  f (x) peut
être aussi proche que l’on veut de f (a) à condition
de prendre x suffisamment proche de a. Alors
que dans l’image de droite ceci est impossible. Il
y a rupture du dessin et saut des valeurs.

Théorème
Continuité et dérivabilité
Toute fonction dérivable sur un intervalle I est
continue sur cet intervalle.
Remarque
La réciproque est fausse
Une fonction peut être continue sur I sans être
dérivable sur I. C’est le cas par exemple de la
fonction valeur absolue continue sur R et non
dérivable en 0.
Propriété
Continuité des fonctions usuelles
• Les fonctions de référence (affines, carré,
cube, inverse, racine carrée) sont continues
sur tout intervalle où elles sont définies.
Ceci est une conséquence du théorème
précédent.
• Toute fonction construite algébriquement
(somme,

produit,

inverse,

quotient ou

composée) à partir de fonctions de référence
est continue sur tout intervalle où elle est
définie.