NOTION Lintégrale-comme-laire-sous-la-courbe

Le 20-03-2019

Intégrales et primitives

L’intégrale comme l’aire sous la
courbe
Définition
Le calcul intégral et l’aire sous la courbe
Soient a et b deux réels, a < b.
Soit f une fonction continue positive sur [a; b].
∫a
On définit l’intégrale b f (x)dx comme étant
égale à l’aire entre :
• les droites verticales d’équations x = a et x =
b,
• la courbe Cf et l’axe des abscisses.

Remarque
L’aire dont on parle est calculée en « unités
d’aire ». Une unité d’aire est l’aire du rectangle
défini par les vecteurs ⃗i et ⃗j du repère.
Exemple
• En reprenant la définition de l’intégrale,
∫3
2dx représente l’aire entre l’axe des
0
abscisses et la droite d’équation y = 2 entre
les points 0 et 3.
• Or la droite d’équation y = 2 est parallèle à
l’axe des abscisses.
• Donc

∫3
0

2dx est en fait l’aire d’un rectangle

de longueur 3 et de largeur 2.
– Donc

∫3
0

dx = 2 × 3 = 6 unités d’aire.

Exemple
∫3

• De même,

0

2xdx représente l’aire d’un

triangle rectangle dont les côtés adjacents
valent 3 et 6.
– Donc

∫2
0

xdx =

3×6
2

= 9 unités d’aire.

Remarque
Quand tu as à faire à une courbe « complexe
» dont tu ne connais pas l’expression, tu peux
encadrer l’aire sous la courbe en comptant le
nombre de carreaux unitaires qui se trouvent
immédiatement sous et au-dessus de la courbe.
Remarque
• Dans

le

cas

des

fonctions

négatives,

l’intégrale vaut bien l’aire entre la courbe
et l’axe des abscisses, mais avec un signe
négatif devant.
• Une aire reste toujours positive alors
qu’une intégrale d’une fonction négative
est négative.

Remarque
• Dans le cas des fonctions ni entièrement
positives

ni

entièrement

négatives,

l’intégrale vaut la somme des aires où
la fonction est positive moins les aires où
elle est négative.
• Ainsi, une fonction qui serait autant positive
que négative sur l’intervalle d’intégration
aurait une intégrale nulle.