NOTION Calcul-de-Primitives

Le 20-03-2019

Intégrales et primitives

Les primitives
Calcul de Primitives
Primitives usuelles
En pratique, lorsqu’on cherche les primitives
d’une fonction, on utilise notre connaissance des
dérivées usuelles, dans l’autre sens.
Dans le tableau suivant n est un entier relatif.
a et b sont des nombres réels.
Fonction  

Primitives (pour tout réel k)

Domaine

ax + k
x2
2
x3
3
xn+1 + k
n+1
xn+1 + k
n+1

R

a
x
x2

 

xn (n ≥ 1)
xn (n ≤ −2)
1
x
√1
x
ex

R
R
R
] − ∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[

ln(x) + k

2 x+k

]0 ; +∞[

ex + k

R

]0 ; +∞[

Exemple
• Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x2 .
Ses primitives sont donc de la forme : F (x) =
x3
3

+ k, k ∈ R.

• Soit f la fonction définie sur R par f (x) =
= x−2 . Ses primitives sont donc de la

2
x2

forme : F (x) =

x−2+1
−2+1

+k =

x−1
−1

+ k = − x1 + k,

k ∈ R.

Primitives de fonctions de la forme u′ eu
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si f est une fonction dont l’expression est f (x) =
u′ (x)eu(x) :
• alors f admet des primitives sur I ;
• et F (x) = eu(x) + k.
Exemple
2

Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 2xex .
• f est de la forme u′ eu avec u(x) = x2 . En effet,
x 7→ 2x est bien la dérivée de x 7→ x2 .
• Donc selon le tableau précédent, f admet
pour primitives les fonctions de la forme :
2

ex + k.
Remarque
Toutes

les

fonctions

n’admettent

pas

de

primitives explicites (c’est-à-dire qui peuvent
s’écrire sous la forme F (x) = …).
• f : x 7→ e−x n’admet pas de primitives
2

explicites sur R.
Remarque
Trouver des primitives demande souvent un peu
d’intuition et de confiance en soi. N’aie pas peur
de prendre un brouillon et d’essayer plein de
choses, soit pour te ramener à une des formes
du tableau, soit pour trouver une astuce qui te
donnera la solution !
Propriété
Linéarité des primitives
Soient a un nombre, et f et g deux fonctions
continues sur un intervalle I dont deux primitives
sont F et G.
• Les fonctions af et f + g sont continues et
admettent des primitives sur I.
• Deux de ces primitives sont aF et F + G.
Exemple
Soient les fonctions f et g définies par f (x) = x2 et
g(x) =

1
x

sur R.

• F (x) =

x3
3

et G(x) = ln(x) sont deux primitives

de f et g, respectivement sur R.
3

• 2F (x) = 2× x3 est l’expression d’une primitive
de 2f .
• F (x) + G(x) =

x3
3

+ ln(x) est l’expression d’une

primitive de f + g.
Remarque
Ces propriétés de linéarité des primitives vont te
permettre de calculer des primitives de sommes
de fonctions.