manuel cours 2013 6N5

Le 20-03-2019

I – Fraction quotient

ex 1

Définition Soient a et b deux nombres entiers, avec b  0.
La fraction

a est le quotient de a par b. Soit a = a ÷ b.
b
b

Règle
Tout nombre décimal (et donc également tout nombre entier) admet une écriture fractionnaire.
Mais attention, un nombre en écriture fractionnaire n’est pas forcément un nombre décimal.

Remarque : Un nombre en écriture fractionnaire qui n’est pas un nombre décimal possède une
écriture décimale illimitée périodique. On ne peut en donner qu’une valeur décimale approchée.
Exemple : Parmi les fractions suivantes, quels sont les nombres décimaux ? Pour celles qui ne sont
pas des nombres décimaux, donnes-en une valeur approchée au centième.
1
1
5
12
5
9
7
30
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
2
3
4
10
7
12
5
22
1 5 12 9
7
, ,
,
et car on finit par obtenir un reste nul dans la division
2 4 10 12
5
du numérateur par le dénominateur.

Les nombres décimaux sont :

1, 0 0 0
10
10
10
1

3
0, 3 3 3

5, 0 0 0 0 0 0 0
5 0
1 0
3 0
2 0
6 0
4 0
5 0
1

1
= 0,333…
3

7
0, 7 1 4 2 8 5 7

5
= 0,714285714285…
7

3 0, 0 0 0 0
80
140
80
140
8

22
1, 3 6 3 6

30
= 1,3636…
22

1
1
. On note  0,33.
3
3
5
5
e. 0,71 est une valeur approchée au centième du quotient . On note  0,71.
7
7
30
30
h. 1,36 est une valeur approchée au centième du quotient
. On note
 1,36.
22
22
b. 0,33 est une valeur approchée au centième du quotient

II – Quotients égaux

ex 2

Règles Soient a, b et k des nombres, avec b  0 et k  0.
Un quotient ne change pas quand on multiplie son numérateur et son
dénominateur par un même nombre non nul.
Un quotient ne change pas quand on divise son numérateur et son
dénominateur par un même nombre non nul.

a a ×k
=
b b× k
Soit : a = a ÷ k
b b÷ k

Soit :

Exemple : Les aires des trois surfaces coloriées sont égales. Déduis-en des fractions égales.

Les fractions

80

8
4 2
8
4 4 ÷2 2
2 2 ×4
= et =
=
, et
sont égales et on a : =
.
6 3
12
6 6 ÷2 3
3 3 × 4 12

FRACTIONS (2) – CHAPITRE N5

III – Simplification de fraction

ex 3

Règle
Simplifier une fraction, c’est trouver une fraction égale dont le numérateur et le dénominateur
sont plus petits.

Remarque : Une fraction que l’on ne peut plus simplifier est dite irréductible.
Exemple : Simplifie le plus possible la fraction

48
.
60

Pour simplifier cette fraction, on cherche des diviseurs communs au numérateur et au dénominateur.
48 2 × 24 24 6 × 4 4
=
=
=
=
60 2 × 30 30 6 × 5 5
4
48
.
n’est plus simplifiable, elle est donc irréductible. C’est la fraction la plus simple égale à
5
60

IV – Multiplication d’un nombre par une fraction

ex 4 et 5

Règle

a par une fraction b (avec c ≠ 0), on peut :
c
calculer le quotient de b par c puis multiplier le résultat par a ;
ou calculer le produit a par b puis diviser le résultat par c ;
ou calculer le quotient a par c puis multiplier le résultat par b.

Pour multiplier un nombre


Remarque : Peu importe la méthode, on divise toujours par le dénominateur de la fraction.
Exemple : Calcule 45 ×
Pour calculer 45 ×

4
.
5

4
, on peut procéder ainsi :
5

4
= 45 ×  4 ÷ 5  = 45 × 0,8 = 36
5
4 45
× 4 = 9 × 4 = 36
• ou 45 × =
5
5
4 45 × 4 180
=
= 36
• ou 45 × =
5
5
5

45 ×

Cette méthode est intéressante quand la fraction
est un nombre décimal.
Cette méthode est intéressante quand la division
tombe juste (résultat entier ou décimal).
Cette méthode fonctionne toujours mais n’est pas
forcément la plus rapide.

Remarque : La deuxième méthode semble ici plus rapide car les calculs se font facilement de tête.
Attention : On n’obtient pas toujours un nombre décimal. Par exemple : 4 ×

2
8
= .
3
3

Règle
Prendre une fraction d’une quantité, c’est multiplier la fraction par cette quantité.

Exemple : Amélie a dépensé les cinq septièmes de ses économies qui s’élevaient à 14,70 €.
Combien a-t-elle dépensé ?
Calculer les cinq septièmes de 14,70 €, c’est multiplier

5
par 14,70 €.
7

5
14,70
× 14,70 =
× 5 = 2,10 × 5 = 10,50. (C’est ici la méthode la plus simple.)
7
7
Amélie a donc dépensé 10,50 €.

CHAPITRE N5 – FRACTIONS (2)

81

V – Pourcentage

ex 6

A – Calcul d’un pourcentage
Règle
Calculer

x % d’un nombre, c’est multiplier ce nombre par

x
100

.

Exemple : 36 % des 425 élèves d’un collège sont externes. Combien y a-t-il d’élèves externes ?
Pour calculer le nombre d’externes, on calcule 36 % de 425.
36
36 × 425 15 300
× 425 =
=
= 153.
36 % de 425 =
100
100
100
Il y a donc 153 élèves externes dans ce collège.

B – Pourcentages particuliers
Règles
• Prendre 10 % d’un nombre, c’est en prendre le dixième.

En effet

• Prendre 50 % d’un nombre, c’est en prendre la moitié.

En effet

• Prendre 25 % d’un nombre, c’est en prendre le quart.

En effet

• Prendre 75 % d’un nombre, c’est en prendre les trois quarts.

En effet

• Prendre 100 % d’un nombre, c’est en prendre la totalité.

En effet

82

10
100
50
100
25
100
75
100
100
100

1
.
10
1
= .
2
1
= .
4
3
= .
4
=

= 1.

1 Donne une écriture décimale de
chaque quotient ou une valeur approchée
au millième.
a. 14 b. 5 c. 27 d. 2 e. 9 f. 3
11
6
10
9
8
25

4 Calcule.
10
a. 5,6 ×
7
9
b. 45 ×
5

2 Parmi les quotients suivants, quels
5
sont ceux égaux à ?
3
54
90
45
40
0,05
b.
c.
a.
d.
e.
27
33
54
25
0,03

5 Les deux tiers des 60 salariés d’une
entreprise sont des ouvriers, un quart
sont des techniciens et les autres sont
des cadres. Détermine le nombre de
salariés dans chacune des catégories.

3 Simplifie chaque fraction au maximum.
125
40
18
16
a.
b.
c.
d.
90
72
24
75

6 Lundi, un vigneron a récolté 23 kg de
raisin et a dû en jeter 12 %. Quelle masse
de raisin a-t-il jetée ?

FRACTIONS (2) – CHAPITRE N5

18
9
3
d. 0,4 ×
4
c. 4,6 ×