DEMO Utilisation-du-calcul-vectoriel

Le 20-03-2019

Vecteurs

Utilisation du calcul vectoriel
Démontrons le théorème de la droite des milieux.
Soit ABC un triangle.

On appelle I et J les milieux

respectifs des côtés [AB] et [AC].
Démontrons que la droite (IJ) est parallèle à (BC) et
que de plus, la longueur IJ mesure la moitié de BC.

Etape 1 : Caractérisation du milieu de [AB] ⃗ = 1 BA.

Comme I est le milieu de [AB], on a IA
2

Etape 2 : Caractérisation du milieu de [AC] ⃗ = 1 AC.

De même avec J, on peut écrire AJ
2

Etape 3 : Calcul vectoriel : décomposition de

IJ
⃗ = IA
⃗ + AJ
⃗ = 1 BA
⃗ + 1 AC
⃗ = 1 (BA

⃗ + AC)
⃗ = 1 BC
IJ
2
2
2
2

Etape 4 : Conclusion
⃗ et BC
⃗ sont colinéaires donc les
• Les vecteurs IJ
droites (IJ) et (BC) sont parallèles.
• De plus, la longueur de [IJ] est bien la moitié de
celle de [BC].