DEMO Égalités-de-vecteurs-et-parallélogramme

Le 20-03-2019

Vecteurs

Égalités de vecteurs et
parallélogramme
Proposition
Soient A, B, C et D, 4 points du plan.
⃗ = CD
⃗ alors le quadrilatère ABDC est un
• si AB
parallélogramme, éventuellement aplati.
• Réciproquement

:

si

ABDC

est

un

parallélogramme, on a alors :
⃗ = CD
⃗ ;
– AB
⃗ = DC
⃗ ;
– BA
⃗ = BD
⃗ ;
– AC
⃗ = DB.

– CA

Démonstration
Étape 1 : 
⃗ = CD
⃗ signifie qu’il existe une translation du
• AB
plan qui transforme A en B et C en D.
• Par définition de la translation, on en déduit que
les segments [AD] et [BC] ont le même milieu.
• Cette

dernière

propriété

caractérise

les

parallélogrammes.
• Conclusion :

ABDC est un parallélogramme,

éventuellement aplati si les points sont alignés.
Étape 2 : Démontrons sa réciproque
• ABDC est un parallélogramme. On a en particulier
: (AB) et (CD) sont parallèles et les segments [AB] et [CD] sont de même longueur.
• D’après la disposition des sommets, on en déduit
⃗ et CD
⃗ possèdent les mêmes
que les vecteurs AB
caractéristiques (longueurs, sens, direction).
⃗ = CD.

• Conclusion : AB
Étape 3 :
• On procède comme à l’étape 2 pour montrer les
autres égalités.