DEMO Sens-de-variation-d’une-fonction-linéaire-ou-affine

Le 20-03-2019

Fonctions de référence

Sens de variation d’une fonction
linéaire ou affine
Proposition
Le sens de variation d’une fonction linéaire ou affine
dépend du signe de a.
Démonstration  
• On considère f (x) = ax + b, une fonction affine.
• On prend deux réels distincts tels que x1 < x2 .
– On a f (x1 ) − f (x2 ) = ax1 + b − ax2 − b.
– De ce fait, f (x1 ) − f (x2 ) = ax1 − ax2 = a(x1 − x2 ).
• On sait que x1 < x2 , donc x1 − x2 < 0.
• Or si a est positif a(x1 − x2 ) < 0 alors f (x1 ) − f (x2 ) < 0
donc la fonction f conserve le sens, elle est donc
croissante pour tout x réel.
• Réciproquement, si a 0 alors
f (x1 ) − f (x2 ) > 0 donc la fonction f ne conserve pas
le sens. Elle est donc décroissante pour tout x réel.
De ce fait, le sens de variation de f dépend du signe de
a.