DEMO Choisir-l’expression-la-mieux-adaptée-d’une-même-fonction-pour-traiter-un-exercice

Le 20-03-2019

Fonctions de référence

Choisir l’expression la mieux
adaptée d’une même fonction pour
traiter un exercice
Soit f une fonction polynôme du second degré. On
donne :



3×2 + 12x − 15


f (n) =

3(x − 1)(x + 5)



 3(x + 2)^2−27

Après avoir vérifié que les différentes formes proposées
sont égales sur R, utilise la forme adéquate pour
répondre aux questions suivantes :
Déterminer le tableau de signes de f (x) sur R ;
Dresser le tableau de variations de f sur R ;
Déterminer les antécédents de −15 pour f ;
Déterminer les antécédents de −27 pour f ;
Le réel −30 a-t-il des antécédents ?

Etape 1 : Vérifier que les trois formes sont
égales sur R
• Développer pour tout x, élément de R l’expression
f (x) = 3(x − 1)(x + 5) :
– 3(x − 1)(x + 5) = 3(x^2+5x − x − 5) = 3(x^2+4x −
5) = 3x^2+12x − 15 ;
– donc tu as vérifié que 3×2 + 12x − 15 = 3(x −
1)(x + 5).
• Développer pour tout x, élément de R l’expression
f (x) = 3(x + 2)2 − 27 :
– 3(x+2)^2−27 = 3(x^2+4x+4)−27 = 3x^2+12x+
12 − 27 = 3x^2+12x − 15 ;
– donc tu as vérifié que 3×2 +12x−15 = 3(x+2)2 −
27.
• De ce fait, les trois formes proposées sont égales sur
R.

Etape 2 : Dresser le tableau de signes de f (x)
sur R
• Pour dresser le tableau de signes de f (x) sur R, tu
utilises l’expression f (x) = 3(x − 1)(x + 5).
• En effet, tu as le signe de a, qui est égal à 3 et donc
positif et tu as les valeurs qui annulent le polynôme
qui sont (1) et (−5).
• Tu en déduis le tableau de signes suivant :

Etape 3 : Dresser le tableau de variations de
f sur R
• Pour dresser le tableau de variations de f sur R, tu
utilises l’expression f (x) = 3×2 + 12x − 15.
• Tu as déjà la valeur de a qui est égal à 3.
• Tu as désormais la valeur de b qui est égal à 12, donc
tu sais que l’extremum de la courbe représentative
de f a pour abscisse x0 =

−b
2a

=

−12
6

= −2.

• De ce fait, tu sais que la fonction f est décroissante
sur ] − ∞; −2] et croissante sur [−2; +∞[.
• Tu peux alors dresser le tableau de variations de f
sur R :

Etape 4 : Déterminer les antécédents de −15
pour f
• Pour déterminer les antécédents de −15 pour f , tu
utilises la forme f (x) = 3×2 + 12x − 15.
• En effet, tu es amené à résoudre l’équation 3×2 +
12x − 15 = −15.
• Cette équation est équivalente à l’équation 3×2 +
12x = 0 ; 3x(x + 4) = 0.
• Tu as alors une équation produit à résoudre.
• Cette équation admet deux solutions x = 0 ou x =
−4.
• Tu en déduis que −15 admet deux antécédents 0
et −4.
• Tu peux écrire f (0) = f (−4) = −15.

Etape 5 : Déterminer les antécédents de −27
pour f
• Pour déterminer les antécédents de −27 pour f , tu
utilises la forme f (x) = 3(x + 2)2 − 27.
• En effet, tu es amené à résoudre l’équation 3(x +
2)2 − 27 = −27.
• Cette équation est équivalente à l’équation : 3(x +
2)2 = 0
• Tu as alors une équation du second degré à
résoudre.
• Cette équation admet une solution double x = −2.
• Tu en déduis que −27 admet un antécédent −2.
• Tu peux écrire f (−2) = −27.

Etape 6 : Déterminer les antécédents de −30
pour f
• Pour déterminer les antécédents de −30 pour f , tu
utilises la forme f (x) = 3(x + 2)2 − 27.
• En effet, tu es amené à résoudre l’équation 3(x +
2)2 − 27 = −30.
• Cette équation est équivalente à l’équation : 3(x +
2)2 = −3.
• Tu as alors une équation du second degré à
résoudre : (x + 2)2 = −1.
• Cette équation n’admet pas de solution car pour
tout x réel, (x + 2)2 ≥ 0.
• Tu en déduis que −30 n’a pas d’antécédent pour f .