DEMO Étude-d’une-fonction-homographique

Le 20-03-2019

Fonctions de référence

Étude d’une fonction
homographique
Après avoir vérifié l’égalité

x+3
x

variations de  la fonction f (x) =

3
x,

= 1 +
x+3
x

étudier les

pour tout x réel non

nul.

Etape 1 : Vérifier l’égalité
• Considérons l’expression 1 +

3
x

sur R∗ .

• Pour tout x réel non nul on a : 1 +

3
x

=

x
x

+

3
x

=

x+3
x .

• De ce fait, l’égalité est vérifiée sur R∗ .

Etape 2 : Étudier les variations de f pour tout
x réel non nul
• Pour étudier les variations de f sur R∗ , tu étudies
les variations de la fonction qui à tout x réel non
nul associe 1 + x3 .
• Or, cette fonction a les mêmes variations que la
fonction qui à x réel non nul associe xa .
• ll suffit de connaître la valeur de a pour déterminer
les variations de cette fonction.
• Tu sais que a est égal à 3, nombre positif, de ce
fait tu sais que la fonction utilisée est strictement
décroissante sur R∗ .
• Tu peux donc dire que la fonction f est strictement
décroissante sur ] − ∞; 0[ et sur ]0; +∞[.

Etape 3 : Dresser le tableau de variations de
f sur R∗
À l’aide des variations trouvées à la question précédente,
tu en déduis le tableau de variations de f sur R∗ :