NOTION Équations-de-droites

Le 20-03-2019

Géométrie plane

Droites
Équations de droites
Propriété
Équation d’une droite non parallèle à l’axe des
ordonnées
Soit (d) une droite qui n’est pas parallèle à l’axe
des ordonnées.
Alors, il existe a et b, deux nombres réels tels que
(d) ait pour équation y = ax + b.
Remarque
• Cela signifie que si M est un point de (d)
d’abscisse x alors son ordonnée est ax + b.
• On retient que M ∈ (d) si et seulement si
M (x ; ax + b).
Définition
Ordonnée à l’origine
b est appelé ordonnée à l’origine de (d).
Définition
Coefficient directeur
a est appelé coefficient directeur de (d) ou pente.
Définition
Équation réduite d’une droite
Soit (d) une droite qui n’est pas parallèle à l’axe
des ordonnées.
L’équation y = ax + b s’appelle l’équation réduite
de (d).
Propriété
Détermination graphique des coefficients a et b
Soit (d) une droite d’équation y = ax + b. Alors, sur
le graphique :
• b est la valeur de l’ordonnée du point
d’intersection

de

(d)

avec

l’axe

des

différences

des

ordonnées ;
• a

est

le

rapport

des

ordonnées sur la différence des abscisses.
On note a =

∆y
∆x .

Remarque
Cette propriété permet de « lire » sur le graphique
les coefficients a et b, c’est-à-dire de trouver
l’équation de la droite (d) ou réciproquement,
de tracer rapidement une droite connaissant son
équation.
Exemple
Soit (d) la droite passant par les 2 points D(−4; 3)
et E(2; 0).
• L’ordonnée à l’origine est 1.
• Le coefficient directeur est a =

yE −yD
xE −xD

= − 12 .

• (d) : y = − 12 x + 1

Exemple
La droite (d′ ) : y = 53 x − 2.
• L’ordonnée à l’origine est −2 donc (d′ ) passe
par le point F (0; −2).
• Le coefficient directeur est a =

5
3

donc en se

déplaçant à partir de F de 5 unités vers le
haut puis de 3 unités vers la droite, on trouve
un 2e  point G(3; 3).

Remarque
• Lorsque a > 0, la droite « monte ».
• Lorsque a < 0, la droite « descend ».
Propriété
Équation de droite « horizontale »
Soit (d) une droite parallèle à l’axe des abscisses.
Alors il existe b réel tel que (d) : y = b.
• Réciproquement, les droites d’équation y =
b, avec b réel fixé, sont des droites parallèles à
l’axe des abscisses.
• L’axe des abscisses a donc pour équation y =
0.

Propriété
Équation de droite verticale
Soit (d) une droite parallèle à l’axe des ordonnées.
Alors il existe a réel tel que l’équation de (d) est
x = a.
• Réciproquement, les droites d’équation x =
a, avec a réel fixé, sont des droites parallèles
à l’axe des ordonnées.
• L’axe des ordonnées a donc pour équation
x = 0.