DEMO Calculer-le-cosinus-ou-le-sinus-d’un-angle

Le 20-03-2019

Trigonométrie

Calculer le cosinus ou le sinus d’un
angle
Calcule cos( 3π
8 ).

Etape 1 : Observer la valeur de l’angle dont on
veut calculer le cosinus
L’angle ici vaut


8 .

Ce n’est pas une valeur à connaître

du cosinus.
On constate que 2 ×


8

=


4 ,

angle dont on peut

connaître simplement une valeur du cosinus (grâce aux
valeurs à connaître).
On va donc utiliser les formules de duplication.

Etape 2 : Appliquer la formule de duplication
du cosinus
cos(2 ×


8 )

= 2 cos2 ( 3π
8 )−1

Etape 3 : En déduire la valeur du carré du
cosinus de l’angle
En utilisant les valeurs apprises du cosinus, on calcule :
• cos(2 ×

π
= cos( 3π
4 ) = cos(−π + 4 ) = −


8 )


2
2

D’où, selon l’étape précédente :
• −

2
2

= 2 cos2 ( 3π
8 )−1

Donc :

• cos2 ( 3π
8 )=

1− 22
2

=

1
2

2
4 .

Etape 4 : Calculer le signe du cosinus de
l’angle à calculer
Comme 0 ≤


8

π
2,

l’angle


8

repère un point sur le

premier quart du cercle trigonométrique et donc :
• cos( 3π
8 )≥0

Etape 5 : Conclure
On a vu que :
• cos2 ( 3π
8 )=

1
2

2
4 .

Donc en passant à la racine :



• cos( 8 ) = ± 12 − 42 .
Or selon l’étape précédente :
• cos( 3π
8 ) ≥ 0.

1
Donc cos( 3π
)
=
8
2 −

2
4 .