NOTION Les-suites-géométriques

Le 20-03-2019

Les suites

Suites arithmétique et géométrique
Les suites géométriques
Définition
Suite géométrique
Une suite (un ) est dite géométrique s’il existe q ∈ R
tel que pour tout n ∈ N :
• u0 + u1 + · · · + un =

(n+1)(u0 +un )
2

• Le réel q est appelé raison de la suite (un ).
Exemple
La suite définie par un+1 = 2 × un et u0 = 3 est
géométrique de raison 2.
On peut calculer ses premiers termes :
• u0 = 3 ;
• u1 = 2 × u0 = 6 ;
• u2 = 2 × u1 = 12, etc.
Remarque
Cela signifie que si (un ) est une suite géométrique
de raison q, on peut calculer un terme de la suite
à l’aide du précédent en le multipliant par q.
Propriété
Expression explicite des termes d’une suite
géométrique
Soit (un ) une suite géométrique de raison q. Alors
pour n ∈ N , on a :
• un = u0 × q n
Une formule donne un résultat similaire à partir
du terme d’indice p. Pour n ≥ p :
• un = up × q n−p
Exemple
En reprenant la suite définie précédemment par
un+1 = 2 × un et u0 = 3, on a pour n ∈ N :
• un = 3 × 2n
Propriété
Somme de termes d’une suite géométrique
Soit (un ) une suite géométrique de raison q. Alors
pour n ∈ N :
• si q ̸= 1 : u0 + u1 + · · · + un = u0 ×

q n+1 −1
q−1

;

• si q = 1 : la suite est constante et on a u0 +
u1 + · · · + un = (n + 1) × u0
Exemple
En posant un = q n (suite géométrique de premier
terme u0 = 1 de raison q), on a d’après ce qui
précède :
q n+1 −1
q−1

• 1 + q + q2 + · · · + qn =
Exemple

En reprenant la suite définie précédemment par
un+1 = 2×un et u0 = 3, on a en utilisant la propriété
:
• u0 + u1 + · · · + un = 3 2 2−1−1 = 3(2n+1 − 1)
n+1

Propriété
Somme de termes d’une suite géométrique
La somme de termes consécutifs d’une suite
géométrique de raison différente de 1 est donnée
par la formule :
• premierterme ×

1−raisonnombredetermes
1−raison

Propriété
Sens de variation d’une suite géométrique
Soit (un ) une suite géométrique de raison q.
• Pour q = 1 ou u0 = 0, (un ) est constante.
• Pour q > 1 :
– si u0 > 0, alors (un ) est strictement
croissante.
– si u0 < 0, alors (un ) est strictement
décroissante.
• Pour 0 < q 0, alors (un ) est strictement
décroissante.
– si u0 < 0, alors (un ) est strictement
croissante.
• Pour q = 0, (un )est constante à partir du rang
n = 1.
• Pour q < 0, (un ) est de signe alterné.

Exemple
• La suite géométrique de premier terme u0 =
1 et de raison 2 admet pour expression
explicite : un = 2n pour tout n.
bien croissante car

un+1
un

Elle est

= 2 et donc comme

un ≥ 0 on a un+1 ≥ un .
• En revanche la suite géométrique de
premier terme v0 = −1 et de raison q décroît.
On a en effet l’expression explicite suivante
pour cette suite : vn = −2n .
• La suite géométrique de premier terme w0 =
3 et de raison

1
2

est décroissante car une

expression explicite de la suite est wn =

3
2n .