DEMO Déterminer-si-une-suite-donnée-par-récurrence-est-croissante-ou-décroissante-méthode-1

Le 20-03-2019

Les suites

Déterminer si une suite donnée par
récurrence est croissante ou
décroissante : méthode 1
Montre que la suite définie par un+1 = un + (un )2 pour
tout n ∈ N , et que u0 = −3 est croissante.

Etape 1 :

Calculer la différence de deux

termes successifs
Ici, pour n ∈ N :
• un+1 − un = (un )2

Etape 2 : En déduire le signe de la différence
de deux termes successifs
D’après ce qui précède, pour n ∈ N , la différence de deux
termes est :
• un+1 − un = (un )2
Donc, sachant que le carré d’un réel quelconque est
positif, on a :
• un+1 − un ≥ 0

Etape 3 : Conclure
Comme pour n ∈ N , on a un+1 −un ≥ 0, et en transposant
le terme un à droite de l’inégalité :
• un+1 ≥ un
Ainsi la suite (un ) est croissante.