NOTION Écart-type

Le 20-03-2019

Statistiques et analyse de
données

Dispersion d’une série de données
Écart-type
Définition
Variance
Soit la série statistique d’effectif total n et de
moyenne µ suivante :
 

Caractère

x1

x2

xp

Effectifs

n1

n2

np

On définit la variance V de la série par :
• V = 1 (n1 (x1 − µ)2 + n2 (x2 − µ)2 + … + np (xp − µ)2 )
n
∑p
• V = 1
n (x − µ)2
i=1 i i
n

Remarque
• La variance est en réalité la moyenne de
l’écart au carré entre chaque valeur et µ : on
somme tous ces écarts mis au carré, puis on
divise par la population n.
• Mettre l’écart au carré permet d’éviter les
problèmes liés aux écarts positifs et négatifs
qui se compenseraient, faussant ainsi le
résultat.
Exemple
Résultats d’une classe à un devoir de maths,
épisode 6
Sur notre exemple, nous avions trouvé µ ≈ 11, 21.
 

Notes

1

2

4

5

8

9

12

14

15

18

19

Effectifs

4

3

2

1

1

2

1

3

2

3

2

20
5

Écarts à µ

−10, 2 −9, 2 −7, 2 −6, 2 −3, 2 −2, 2 0, 8

2, 8

3, 8

6, 8

7, 8

8, 8

Écarts au carré

104, 2 84, 8

7, 8

14, 4

46, 2

60, 7

77, 4

51, 9

38, 5

10, 3

4, 9

0, 6

Puis effectue le calcul final de la même façon qu’avec la moyenne :

• V =

4×−102 +3×9,22 +…+5×8,82
4+3+…+5

• On trouve alors V = 52, 9.

Propriété
Variance : formule simplifiée
Soit la série statistique d’effectif total n et de
moyenne µ suivante :
 

Caractère

x1

x2

xp

Effectifs

n1

n2

np

La variance V de la série peut se calculer grâce à la formule :
2
2
2
• V = 1 (n1 x2
1 + n2 x2 + … + np xp ) − µ
n
∑p
n x2 − µ2
• V = 1
i=1 i i
n

Remarque
• Cette formule, est intéressante car elle allège
les calculs.
• Pour la retenir plus facilement, il suffit de
savoir que c’est la moyenne des carrés des
valeurs moins le carré de la moyenne de la
série.
Définition
Écart-type
Soit une série statistique de variance V .
On définit l’écart-type σ de cette série comme la
racine carrée de sa variance :

• σ= V
Plus les valeurs sont dispersées, plus l’écart-type
(et donc aussi la variance) est élevé.
Remarque
• La variance est la moyenne des écarts à
µ au carré.

Sa racine carrée, σ, est donc

assimilable à un écart, il a la même unité
que les valeurs de la série.
• Il

donne

de

ce

fait

une

information

directement exploitable sur la distance
avec laquelle les valeurs sont distribuées
autour de la moyenne.
• La variance est la moyenne des carrés des
écarts.
• L’écart-type, qui est la racine carrée de la
variance est assimilable à un écart, il a la
même unité que les valeurs de la série.
Il donne donc une information exploitable
directement sur la distance avec laquelle
les valeurs sont distribuées autour de la
moyenne.
Exemple
Résultats d’une classe à un devoir de maths,
épisode 7
Pour notre exemple, l’écart-type vaut :


• σ = V ≈ 52, 9 ≈ 7, 3
Ainsi, la classe a une moyenne de 11, 21/20,
les notes étant en moyenne éloignées de 7 au
dessus ou en dessous de cette moyenne, ce qui
est beaucoup.

Cela révèle que, si la moyenne

de la classe est correcte, son niveau n’est pas
homogène : une part importante de la classe
est en difficulté pendant qu’une autre réussi très
bien.
Remarque
• Nous

avons

vu

que

deux

couples

d’outils permettent d’arriver aux mêmes
conclusions :
– médiane et écart interquartile (non
influencés par les valeurs extrêmes) ;
– moyenne et écart-type (influencés par
les valeurs extrêmes).
• La médiane et la moyenne permettent
de donner une information de tendance
globale,
et

alors

que

l’écart-type

l’écart

interquartile

quantifient

précisément

la dispersion des valeurs autour de ces
tendances.
• Ces

outils

efficacement

permettent
les

de

résumer

caractéristiques

d’une

série statistique, et de la comparer avec
d’autres séries, chose délicate lorsqu’on ne
dispose que des données brutes.