NOTION Trigonométrie

Le 20-03-2019

Le produit scalaire

Applications du produit scalaire
Trigonométrie
Remarque
En trigonométrie, le produit scalaire permet
de

démontrer

facilement

des

résultats

fondamentaux sur les fonctions sinus et cosinus.

Formules d’addition des sinus et cosinus
Soient a et b deux réels.
On a :
• cos (a − b) = cos a cos b + sin a sin b
• cos (a + b) = cos a cos b − sin a sin b
• sin (a − b) = sin a cos b − sin b cos a
• sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a
Remarque
Pour retenir :
• Pour le cosinus, chacun reste de son côté :
les cosinus d’un côté, et les sinus de l’autre.
Pour le sinus, on mélange.
• Au niveau des signes :

le sinus est

synchronisé avec le signe dans la parenthèse
:

sin (a − b) contient un signe « − ».

Au

contraire, cosinus est en opposition avec le
signe dans la parenthèse.
• Le signe « − », quand il y en a un, est toujours
positionné devant le membre contenant le
sinus de l’élément portant le « − » dans la
parenthèse, ici le b.
Exemple
π
Calculons, par exemple, cos 12
à l’aide de ces

formules :

π
12

=

π
3

π
4

Donc :
π
• cos 12
= cos ( π3 − π4 )

D’où, d’après la première formule :
π
= cos π3 cos π4 + sin π3 sin π4
• cos 12

2
2

π
• cos 12
=

1
2

π
=
• cos 12


2
4

π
• cos 12
=



2(1+ 3)
4

×

+

3
2

+

×


2
2

√ √
2 3
4

Remarque
Astuce : à partir de seulement deux de ces
formules, tu peux retrouver très vite les deux
autres. Il suffit pour cela :
• de dire que cos (a − b) = cos (a + (−b)),
• d’appliquer

la

formule

connue

cos (a + (−b)) = cos a cos (−b) − sin a sin (−b),
• et de simplifier rapidement avec sin (−b) =
− sin b et cos (−b) = cosb.

Formules de duplication des sinus et cosinus
Soient a et b deux réels.
On a :
• cos (2a) = cos2 a−sin2 a = 1−2 sin2 a = 2 cos2 a−
1
• sin (2a) = 2 sin a cos a
Remarque
• La première formule pour cosinus et la
formule pour sinus découlent directement
des formules précédentes,
simplement a = b.

en prenant

Il peut toutefois être

intéressant de les connaître par cœur, cela
te fera économiser du temps.
• Les deux autres formules pour cosinus
découlent de la première, en y ajoutant le
fait que pour tout x réel, sin2 x + cos2 x =
1. Si tu as bien cela en tête, ce n’est pas
forcément nécessaire d’apprendre les trois
formules pour le cosinus, choisis celle que tu
trouves plus facile à retenir !
Exemple
De

même

que

calculons sin

π
6

=2×

π
12

dans

l’exemple

précédent,

à l’aide de ces formules.

π
12

Donc :
• cos π6 = cos (2 ×

π
12 )

D’où, d’après la formule :
• cos π6 = 1 − 2 sin2
• ⇔ sin2

π
12

π
12

= 12 (1 − cos π6 )

Or :
• cos π6 =


3
2

Ainsi, en reportant :
• sin2

π
12

= 12 (1 −

• sin2

π
12

=

Et, comme

π
12

π
=
• sin 12


3
2 )


2− 3
4

π
∈ [0; π], sin 12
≥ 0 d’où :
√ √
2− 3
4

Pour aller plus loin : tu peux alors montrer que
π
sin 12
=

√ √
2( 3−1)
.
4