NOTION Propriétés

Le 20-03-2019

Le produit scalaire

Définitions et propriétés du produit
scalaire
Propriétés
Propriété
Propriétés calculatoires du produit scalaire
Le produit scalaire, pour les calculs, se comporte
comme la multiplication « classique ».
Soient ⃗u, ⃗v , et w 
⃗ trois vecteurs.
Soit k un réel.
On a les propriétés suivantes :
• produit avec un vecteur nul : ⃗u · ⃗0 = 0 ;
• symétrie : ⃗u · ⃗v = ⃗v · ⃗u ;
• développement et factorisation : ⃗u · (⃗v + w)
⃗ =
⃗u · ⃗v + ⃗u · w
⃗;
• avec un facteur réel : ⃗u · (k⃗v ) = k × (⃗u · ⃗v ) =
(k⃗u) · ⃗v ;
• identité remarquable : (⃗u +⃗v )2 = ⃗u2 +2⃗u ·⃗v +⃗v 2
(avec ⃗u2 = ⃗u · ⃗u)
Remarque
Il est intéressant de penser à ces propriétés pour
calculer le produit scalaire de deux vecteurs :
• on peut en décomposer un grâce à la
relation de Chasles, et se reporter à des
produits scalaires avec d’autre vecteurs sur
lesquels on a peut-être plus d’informations…
Propriété
Produit scalaire et vecteurs orthogonaux
Soient ⃗u et ⃗v deux vecteurs non nuls.
• ⃗u · ⃗v = 0 ⇔ ⃗u et ⃗v orthogonaux
Exemple
Prenons par exemple deux vecteurs que nous
savons orthogonaux (dans un repère orthonormé)
: ⃗u(1; −1) et ⃗v (1; 1).
• ⃗u · ⃗v = 1 × 1 + (−1) × 1 = 1 − 1 = 0
On constate que leur produit scalaire est bien nul.
Remarque
• Cette propriété est centrale pour cette leçon,
il faudra toujours la garder en tête. Elle te
permettra de prouver beaucoup de choses
et ouvre sur un grand nombre d’applications
en géométrie. Note qu’elle fonctionne dans
les deux sens.
• Le résultat du produit scalaire est un réel et
non un vecteur, ne mets pas de flèche au
dessus du 0 ! Dans les cas où, par contre, on
parle de vecteur nul, il ne faudra pas oublier
la flèche…
Propriété
Produit scalaire et vecteurs colinéaires
⃗ et CD
⃗ sont deux vecteurs colinéaires non
Si AB
nuls, alors :
⃗ · CD
⃗ =
• 1er cas, vecteurs de même sens : AB
AB × CD
⃗ · CD
⃗ =
• 2e cas, vecteurs de sens opposés : AB
−AB × CD
Le produit scalaire de deux vecteurs colinéaires
vaut le produit de leurs normes :
• produit qui est positif si les deux vecteurs
sont de même sens ;
• négatif sinon.
Remarque
Cela découle directement de l’expression du
produit scalaire en fonction de l’angle formé par
les deux vecteurs :
• si ceux-ci sont colinéaires, ils forment soit un
angle de 0, soit de π, et donc le cosinus de
l’angle vaut soit 1 soit −1.
Exemple
Prenons par exemple deux vecteurs que nous
savons colinéaires et de même sens (dans un
repère orthonormé) : ⃗u(1; 2) et ⃗v (4; 8) (⃗v = 4 × ⃗u).
• ⃗u · ⃗v = 1 × 4 + 2 × 8 = 20
Or :
• ||⃗u||=



1+4= 5

• ||⃗v ||=





16 + 64 = 80 = 16 × 5 = 4 5

Donc :
• ||⃗u||×||⃗v ||= 4 ×



5 × 5 = 20

On a bien :
• ⃗u · ⃗v = ||⃗u||×||⃗v ||.
Propriété
Produit scalaire et norme
Soit ⃗u un vecteur.
Le carré scalaire de ⃗u est égal à sa norme au carré
:
• ⃗u2 = ||⃗u||2
Remarque
C’est une application directe de la propriété
précédente.
Rappel
Projection orthogonale
Soit (d) une droite et M un point n’appartenant
pas à cette droite.
On appelle « projeté orthogonal » de M sur (d)
le point d’intersection H entre (d) et la droite
perpendiculaire à (d) passant par M .
Propriété
Produit scalaire : projection orthogonale
Soient A, B, C et D quatre points distincts.
Soient H et I respectivement les projetés
orthogonaux de C et D sur la droite (AB).
⃗ · CD
⃗ = AB
⃗ · HI

• AB
Remarque
Cela signifie que le produit scalaire de deux
vecteurs est égal au produit scalaire du premier
vecteur avec le projeté orthogonal du second sur
le premier.
Remarque
• On retrouve que deux vecteurs orthogonaux
entre eux auront un produit scalaire nul : si
l’on projette un de ces vecteurs sur l’autre, on
obtient un point, c’est à dire un segment de
longueur nulle.
• Cela permet ensuite de se ramener au cas de
deux vecteurs colinéaires pour lequel il est
très simple de calculer le produit scalaire.
• Attention de bien conserver l’ordre des
lettres (H est le projeté orthogonal de C, I
⃗ et HI),
⃗ sinon
celui de D, on écrit donc CD
l’égalité devient fausse.
Exemple
Soit ABCD un trapèze droit en A et D tel que
AD = 2.
⃗ · DA
⃗ :
Calculons BC
⃗ est le projeté
• comme le trapèze est droit, AD
⃗ sur (AD),
de BC
D’où :
⃗ · DA
⃗ = AD
⃗ · (−AD)

• AD
D’où, d’après les propriétés du produit scalaire, :
⃗ · DA
⃗ = −(AD
⃗ · AD)
⃗ = −AD
⃗ 2 = −AD2 =
• AD
−22 = −4
Remarque
Cette propriété te donne un quatrième outil
pour calculer les produits scalaires, en plus des
trois expressions données en première partie. Il
faudra penser à l’utiliser dans les énoncés faisant
intervenir des angles droits, des hauteurs, ou des
projections orthogonales.