NOTION Définitions-et-expressions

Le 20-03-2019

Le produit scalaire

Définitions et propriétés du produit
scalaire
Définitions et expressions
Définition
Produit scalaire : normes
Soient ⃗u et ⃗v deux vecteurs.
On définit le produit scalaire de ces deux vecteurs
par :
• ⃗u · ⃗v = 12 (||⃗u + ⃗v ||2 −||⃗u||2 −||⃗v ||2 )
Remarque
Astuce mnémotechnique
Il te sera plus facile de mémoriser la formule
comme ceci :
• ||⃗u + ⃗v ||2 = 2⃗u · ⃗v + ||⃗u||2 +||⃗v ||2
Cette forme est très similaire à une identité
remarquable.

Il est alors très facile de la

réarranger pour trouver la définition du produit
scalaire.
Exemple
Soit le triangle ABC tel que : AB = 2 ; AC = 4 ;
BC = 3.
⃗ · BC
⃗ = 1 (||AB
⃗ + BC||
⃗ 2 −||AB||
⃗ 2 −||BC||
⃗ 2)
• AB
2
⃗ · BC
⃗ = 1 (||AC||
⃗ 2 −||AB||
⃗ 2 −||BC||
⃗ 2)
• AB
2
⃗ · BC
⃗ = 1 (42 − 22 − 32 )
• AB
2
⃗ · BC
⃗ =
• AB

3
2

Remarque
Cette formule te servira dans le cas où tu connais
:
• les normes de tes vecteurs ;
• la norme de leur somme vectorielle.
Propriété
Produit scalaire : normes et angle
Soient ⃗u et ⃗v deux vecteurs non nuls.
Soit α = (⃗u; ⃗v ) l’angle formé par ces deux vecteurs.
On a :
• ⃗u · ⃗v = ||⃗u||·||⃗v ||cos α
Remarque
Le signe de l’angle n’importe pas puisque la
fonction cosinus est paire.
Exemple
Soit le triangle ABC tel que AB = 2; AC = 4 ;
AB;ˆAC =

π
3

rad.

⃗ · AC
⃗ = ||AB||·||


⃗ AC)

• AB
AC||cos
(AB,
⃗ · AC
⃗ = 2 × 4 × cos π
• AB
3
⃗ · AC
⃗ =8×
• AB

1
2

=4

Remarque
Cette formule est particulièrement utile dans le
cas où tu connais :
• les normes de tes vecteurs ;
• l’angle qu’ils forment.
Propriété
Produit scalaire : coordonnées des vecteurs
Soient ⃗u(x; y) et ⃗v (x′ ; y ′ ) deux vecteurs dans un
repère orthonormé.
L’expression analytique du produit scalaire est la
suivante :
• ⃗u · ⃗v = xx′ + yy ′
Remarque
La logique est simple :

on parle de produit

scalaire = on multiplie une à une les coordonnées
des vecteurs, et on additionne les résultats.
Exemple
Soient ⃗u(2; 3) et ⃗v (4; 5) deux vecteurs dont les
coordonnées sont exprimées dans un repère
orthonormé.
• ⃗u · ⃗v = 2 × 4 + 3 × 5 = 8 + 15 = 23
Remarque
Les trois formules présentées ci-dessus découlent
les unes des autres, et sont toutes valables pour
calculer le produit scalaire de deux vecteurs. Ce
sera à toi de choisir la plus adaptée à chaque
situation :
• si tu as connaissance de la norme de
la somme vectorielle de tes vecteurs,
privilégie la première ;
• si tu connais l’angle formé par les deux
vecteurs, opte pour la seconde ;
• si on te donne un repère orthonormé
avec les coordonnées des vecteurs (ou des
points) plutôt que leurs normes ou l’angle
qu’ils forment, choisis d’utiliser la troisième.