DEMO Déterminer-une-équation-cartésienne-de-droite-à-partir-d’un-point-et-d’un-vecteur-normal

Le 20-03-2019

Le produit scalaire

Déterminer une équation
cartésienne de droite à partir d’un
point et d’un vecteur normal
Soient

trois

points

du

plan

muni

d’un

repère

orthonormé : A(−1, 2), B(1, 1), C(2, 2).
Soit H le projeté orthogonal de C sur (AB).
Détermine une équation cartésienne de la droite (CH)

Etape 1 : Faire un dessin et définir la stratégie
Le fait de tracer un repère, d’y placer les points et les
hypothèses de l’énoncé t’aidera à clarifier la situation,
et à mieux comprendre le problème. Cela pourra de
plus te révéler des choses auxquelles tu n’aurais pas
pensé sans le dessin, et te permettra de vérifier la
cohérence de tes résultats.
Tracer le dessin te montre que le droite (CH) est
définie par le fait
• qu’elle passe par C,
• et qu’elle est perpendiculaire à (AB).

Cela te montre aussi la nécessité de vérifier que les 3
points A, B et C ne sont pas alignés : dans ce cas C
est son propre projeté orthogonal sur (AB), et la droite
(CH) n’existe pas.
La notion de perpendicularité nous amène à utiliser la
notion de vecteur normal pour trouver une équation
de la droite.
Il faudra sûrement exploiter ces deux informations
pour trouver une équation de la droite.

Etape 2 : Vérifier que les points ne sont pas
alignés
Prouver que les 3 points ne sont pas alignés revient
à prouver que deux vecteurs distincts formés par
⃗ et BC
⃗ ne sont pas
ces trois points, par exemple AB
colinéaires. Calculons pour cela leurs coordonnées.
• xAB
⃗ = xB − xA = 1 − (−1) = 2
• xBC
⃗ = xC − xB = 2 − 1 = 1
Donc :
• xAB
⃗ = 2xBC

Vérifions qu’on n’a pas la même relation sur les
ordonnées de ces vecteurs, car dans ce cas on aurait
⃗ = 2BC,
⃗ et les vecteurs seraient alors colinéaires.
AB
• yAB
⃗ = yB − yA = 1 − 2 = −1
• yBC
⃗ = yC − yB = 2 − 1 = 1
Donc :
• yAB
⃗ = −yBC

Les deux vecteurs ne sont pas colinéaires, les trois points
ne sont pas alignés, on peut continuer.

Etape 3 : Poser l’équation vectorielle
Lorsque l’on recherche l’équation cartésienne d’une
figure plane, il convient de prendre un point M (x; y)
du plan appartenant à cette figure, de poser une
équation vectorielle traduisant cette appartenance, et
de la traduire en équation cartésienne en se ramenant
à l’équation induite sur les coordonnées de M , faisant
ainsi réaparaître x et y. 

• M ∈ (CH) ⇔ M⃗C orthogonal à AB

On traduit bien ainsi le fait que (CH) passe par C, et le
fait qu’elle est perpendiculaire à (AB).
Lorsqu’une notion d’orthogonalité de deux vecteurs
intervient, il faut avoir le réflexe de la traduire par un
produit scalaire nul. Soit :
⃗ =0
• M ∈ (CH) ⇔ M⃗C · AB

Etape 4 :

Se ramener à une équation

cartésienne
En utilisant l’expression analytique du produit scalaire,
on obtient :
• M ∈ (CH) ⇔ xM⃗C xAB
⃗ + yM⃗C yAB
⃗ =0
• ⇔ (xC − x) × 2 + (yC − y) × (−1) = 0
• ⇔ 2(2 − x) − (2 − y) = 0
• ⇔ −2x + y + 4 − 2 = 0
• ⇔ −2x + y + 2 = 0

Etape 5 : Conclure
Ainsi, on a prouvé que −2x + y + 2 = 0 était une équation
cartésienne de la droite (CH).
Remarque :

toute équation obtenue à partir de

celle-ci en multipliant des deux côtés par un même
nombre est aussi une équation de (CH). Par exemple,
2x − y − 2 = 0 en est aussi une (on a multiplié par −1).

Etape 6 : Vérifier
Il est bon dans ce type d’exercice de vérifier ton
résultat au brouillon. C’est rapide et ça te permettra
de détecter une étourderie éventuelle qui pourrait
te coûter beaucoup de points.

Pour cela, il suffit

d’entrer les coordonnées de C dans l’équation trouvée,
et s’assurer qu’elle est vérifiée :
• −2 × 2 + 2 + 2 = −4 + 4 = 0
C’est tout bon !