DEMO Calculer-lespérance-dune-variable-aléatoire

Le 20-03-2019

Probabilités

et

échantillonnage

Calculer l’espérance d’une variable
aléatoire
Voici un jeu de hasard : trois gobelets sont retournés sur
une table. Dans l’un d’entre eux se trouve une pièce de
2 euros, dans un autre une pièce de 1 euro, et le dernier
est vide. Pour jouer, un joueur doit payer 1 euro. Les
gobelets sont alors mélangés de sorte que l’on ne puisse
pas suivre les mouvements. Le joueur désigne ensuite
un gobelet et gagne l’éventuelle pièce qui se trouvait
dessous : que peut-il espérer gagner en moyenne ?

Etape 1 : Décrire la variable aléatoire qui doit
être associée à l’expérience
La variable aléatoire X est ici l’argent récolté/perdu par
le joueur à la fin de l’expérience.

Etape 2 : Déterminer les issues de la variable
aléatoire
X peut prendre trois valeurs :
• 1 (le joueur tombe sur la pièce de 2 euros) ;
• 0 (il tombe sur la pièce de 1 euro) ;
• −1 (il tombe sur le gobelet vide).

Etape 3 : Déterminer la loi de probabilité de
la variable aléatoire
Le choix est fait aléatoirement :
• les différents choix sont faits avec la même
probabilité (situation équiprobable).
• Il y a trois choix, donc cette probabilité est de 13 .
La loi de probabilité de X est résumée dans le tableau
suivant :

 

X
P (X = xi )

1
1
3

0
1
3

−1
1
3

Etape 4 : Calculer l’espérance de la variable
aléatoire et l’interpréter
On applique la formule :
• E(X) = 1×P (X = 1)+0×P (X = 0)+(−1)×P (X = −1)
E(X) =

1
3

1
3

= 0.

Le gain d’argent en moyenne de l’observateur s’il joue
un grand nombre de fois est donc nul : le jeu semble
pourtant alléchant car le mélangeur met en jeu une plus
grosse somme que l’observateur.