1°S – CHAP 11 – PRODUIT SCALAIRE – 1cours

Le 20-03-2019

1°S

PRODUIT SCALAIRE
DEFINITIONS ET PROPRIETES
 Définition :
Soit deux vecteurs non nuls u et v , on appelle produit scalaire de u par v le nombre réel u . v ,
défini par :
u.v  u  v  cos(u; v)

 Propriétés :
● u . v = 0  u  0 ou v  0 ou bien u et v orthogonaux.
● Distributivité, associativité, commutativité :
u.v  v.u

u.(v  w)  u.v  u.w ;

;

u.(k v)  k u.v

● Identités remarquables :
2

2

2

2

(u  v) 2  u  2u.v  v
(u  v) 2  u  2u.v  v
2

(u  v)(u  v)  u  v

● u 2 u

2

2

 Projections :
Si le point H est le projeté orthogonal de C sur (AB),
on dit que AH est le projeté de AC sur (AB) et : AB . AC  AB . AH .
● Si cos( AB ; AC )  0 :
● Si cos( AB ; AC )  0 :
C
C

A

H

B

AB . AC  AB . AH  AB  AH

A
H

B

AB . AC  AB . AH   AB  AH

 Dans un repère :
Soient u et v de coordonnées respectives (x ; y) et (x’ ; y’) alors :
● u.v  xx ‘ yy ‘
● u 2 u

MATHEMATIQUES

2

 x2  y2

CHAPITRE 11 : PRODUIT SCALAIRE – Fiche de cours – 1

1°S

APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE
 Relations métriques dans le triangle:
A
b

c
B

C

a

Dans tout triangle ABC on a :
● Théorème d’Al-Kashi : a 2  b 2  c 2  2bc cos Aˆ .
a
b
c


● Loi des sinus :
.
sin Aˆ sin Bˆ sin Cˆ
● Formule de l’aire : S 

1
1
1
bc sin Aˆ  ac sin Bˆ  ab sin Cˆ .
2
2
2

 Théorème de la médiane:
M

A

Soient A et B deux points du plan et I milieu du segment [AB].
Pour tout point M du plan, on a :
AB 2
MA2  MB 2  2MI 2 
.
2
Autrement dit, dans le triangle ABM, la longueur de la
médiane issue de M vérifie :
1
1
AB 2
MI 2  MA2  MB 2 
2
2
4

B

I

 Equation de cercle:
M

Γ

A

B
Ω

● Γ cercle de centre Ω( x  ; y  ), de rayon R : M ( x; y )    M 2  R 2 .
L’équation de ce cercle est donc : ( x  x ) 2  ( y  y  ) 2  R 2 .
● Γ cercle de diamètre [AB] avec A( x A ; y A ) et B( x B ; y B ).
On a alors M ( x; y )    ( MA)  ( MB )  MA.MB  0 .
L’équation de ce cercle est donc : ( x  x A )  ( x  x B )  ( y  y A )  ( y  y B )  0 .
MATHEMATIQUES

CHAPITRE 11 : PRODUIT SCALAIRE – Fiche de cours – 2