DEMO Reconnaître-un-schéma-de-Bernoulli-et-calculer-la-loi-binomiale-associée

Le 20-03-2019

Probabilités

et

échantillonnage

Reconnaître un schéma de Bernoulli
et calculer la loi binomiale associée
Une pièce biaisée a une probabilité
et

1
6

de tomber sur pile

de tomber sur face. On la lance 5 fois d’affilée en

5
6

notant le côté sur lequel elle tombe.
En moyenne, combien de fois la pièce va-t-elle tomber
sur pile lors d’une série de 5 lancés ?
Quelle est la probabilité de tomber deux fois sur pile
parmi les 5 lancés ?

Etape 1 :

Déterminer s’il y a répétition

d’expériences identiques et indépendantes
à deux issues
Le lancer de pièce est répété cinq fois de suite, sans que
les lancers influent les uns sur les autres. On a donc bien
répétition d’une même expérience à l’identique et de
manière indépendante.
Cette expérience possède deux issues (tomber sur
pile ou sur face).
Il s’agit donc d’un schéma de Bernoulli.

Etape 2 : Donner les paramètres de la loi
binomiale associée
Cette expérience comporte n = 5 répétitions, et la
probabilité de succès (tomber sur pile) est p = 61 .
Le nombre de succès, donné par la variable aléatoire X,
suit donc la loi binomiale B(5, 61 ).

Etape 3 : Calculer l’espérance et la variance
Comme X suit la loi binomiale B(5, 16 ), on a :
• E(X) = np = 5 ×

1
6

=

5
6

• V (X) = np(1 − p) = 5 ×

1
6

×

5
6

=

25
36

Ainsi en arrondissant, sur 5 lancers on peut espérer en
moyenne tomber une fois sur pile.
• L’espérance serait clairement plus grande avec une
pièce équilibrée.

Etape 4 : Calculer la probabilité de faire deux
piles
La formule de la loi binomiale B(5, 61 ) donne :
• P (X = 2) =
P (X = 2) =

(n)
p

(5)

Il reste à calculer

2

p2 (1 − p)n−2  
( 5 )3 (5) 53
1
= 2 65 .
62 6

(5)
2

. Plusieurs méthodes sont possibles

:
• soit on se sert de sa calculatrice (sur TI ou Casio il
faut écrire « 5 nCr 2 »; pour trouver « nCr » sur Casio
aller dans « MENU RUN », puis « PROB », et choisir
« nCr ») ;
• soit on construit le triangle de Pascal.
 

nk

0

1

2

3

4

5

0

1

 

 

 

 

 

1

1

1

 

 

 

 

2

1

2

1

 

 

 

3

1

3

3

1

 

 

4

1

4

6

4

1

 

5

1

5

10

10

5

1

• Ainsi,

( )
5
= 10.
2

3
• D’où P (X = 2) = 10 × 55 = 625 ≈ 0, 16.
3888
6