1°S – CHAP 08 – LOI BINOMIALE – 1cours

Le 20-03-2019

LOI BINOMIALE

 Conseils


Ce chapitre sera redéveloppé en Terminale, plus approfondi. En 1ere S, habituez?
vous à utiliser votre machine pour le calcul de (?) mais essayez aussi de le
calculer « à la main » pour assimiler le calcul des combinaisons.
Lisez bien l’énoncé : dès que l’on répète n fois la même épreuve et qu’il n’y a que
2 issues (succès/échec ; fille/garçon ; vrai/faux ; etc…) alors, pensez à la loi
binomiale.
Les intervalles de fluctuation seront plus repris et développés en Terminale.

LOI BINOMIALE

LOI DE BERNOUILLI
 DEFINITION
Une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire comportant 2 issues (succès –échec).
p est la probabilité du succès.
(1-p) est la probabilité de l’échec.
La variable aléatoire X qui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec suit la
loi de Bernoulli de paramètre p :
Son espérance est : ?(?) = ?
Sa variance est : ?(?) = ?(? − ?)

LOI BINOMIALE
 DEFINITION
La répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes est une expérience
aléatoire : schéma de Bernoulli.
Soit X la variable aléatoire définie par le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli.
La loi de probabilité de X s’appelle la loi binomiale de paramètres n, p et on écrit :

?~?(?, ?)
 EXPRESSION DE LA LOI BINOMIALE
?
?(? = ?) = ( ) ?? ??−?
?
Avec : ? = 1 − ?
Et
0 ≤ ? ≤ ? , k entier

Et

?(?) = ??
?(?) = ??(? − ?)

 COEFFICIENTS BINOMIAUX

?
( )=1
0

?
( )=?
1

?
( )=1
?

?
?
( )=(
)
?
?−?

(

?+1
?
?
)=( )+(
)
?+1
?
?+1

On calcule les coefficients à la machine (voir fiche méthode)

ECHANTILLONNAGE
 INTERVALLE DE FLUCTUATION
Définition : l’intervalle de fluctuation à 95% d’une fréquence de réalisation d’une variable
? ?
aléatoire X de la loi binomiale de paramètres n, p est l’intervalle [ , ] ? ?

a est le plus petit entier tel que : ?(? ≤ ?) > ?, ???
b est le plus petit entier tel que : ?(? ≤ ?) > ?, ???

Pour ? ≥ 30 ; ?? ≥ 5 et (1 − ?) ≥ 5 , l’intervalle de fluctuation [
même que ⌈? −

?
√?

;?+

?
√?

? ?

, ] est sensiblement le

? ?

⌉ (résultat de 2nde).

 REGLE DE DECISION
Soit une population où l’on suppose que la proportion d’un caractère est p. On prélève au
hasard et avec remise un échantillon de taille n sur lequel on observe une fréquence f du
caractère.
Si f n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation à 95%, on rejette l’hypothèse du
caractère étudié p.