NOTION Fonctions-de-la-forme-frac1u

Le 20-03-2019

Fonctions usuelles et étude
de fonctions

Opérations sur les fonctions et sens
de variation
Fonctions de la forme

1
u

Propriété
Sens de variation de

1
u

Soit u une fonction qui ne s’annule pas et qui
garde un signe constant. On considère la fonction
f =

1
u

définie par f (x) =

1
u(x)

pour tout réel x tel

que u(x) ̸= 0. Alors :
• f et u ont des sens de variation opposés.
Remarque
• Pour pouvoir définir f =

1
u

, il faut que u ne

s’annule pas.
• L’hypothèse que u garde un signe constant
est importante. Par exemple, la fonction u
définie par :
– u(x) = 1 si x ≥ 0 ;
– u(x) = −1 si x < 0 ;
– est croissante sur R.
Or

1
u

= u. Donc

1
u

e tu ont même sens de variation

(elle sont croissantes).
• Ceci s’explique par le fait que u change de
signe en 0.
Exemple
Ci-dessous sont représentés les graphes des
fonctions x 7→ x2 + 1 (strictement positive) et x 7→
1
x2 +1 .

Elles ont des sens de variation opposés.