NOTION Équations-cartésiennes-d’une-droite

Le 20-03-2019

Géométrie plane

Vecteurs directeurs et équations
cartésiennes
Équations cartésiennes d’une droite
Propriété
Équations cartésiennes
Toute droite d a une équation de la forme :
• ax + by + c = 0 avec (a; b) ̸= (0; 0).
Une telle équation s’appelle une équation
cartésienne de d.
Exemple
Soit d une droite passant par A(1; 2) et de vecteur
directeur ⃗u(−1; 3)
⃗ et ⃗u sont colinéaires :
M (x; y) ∈ d. Les vecteurs AM
• ⇔ (x − 1) × (−1) − 3 × (y − 2) = 0
• ⇔ −x + 1 − 3y + 6 = 0
• ⇔ −x − 3y + 7 = 0
Une équation cartésienne de d est : −x−3y+7 = 0.
Propriété
Équation cartésienne et vecteur directeur
• Une droite d’équation cartésienne ax + by +
c = 0 admet pour vecteur directeur : ⃗u(−b; a).
Exemple
Soit d une droite d’équation 2x − 3y + 1 = 0. On a
ici :
• a=2;
• b = −3 ;
• c = 1.
Un vecteur directeur de d est donc :
• ⃗u(3; 2).
Propriété
Droites parallèles
Soient d une droite d’équation ax + by + c = 0 et d′
une droite d’équation a′ x + b′ y + c′ = 0.
• d et d′ sont parallèles si et seulement si les
couples (a; b) et (a′ ; b′ ) sont proportionnels.
Exemple
Soient les droites d1 ,

d2 et d3 d’équations

respectives :
2x − 3y + 1 = 0, −4x + 6y + 3 = 0et 4x + 5y − 2 = 0.
• Les

couples

(2; −3)

et

(−4; 6)

sont

proportionnels, donc d1 et d2 sont parallèles.
• Les couples (2; −3) et (4; 5) ne sont pas
proportionnels, donc d1 et d3 ne sont pas
parallèles.