NOTION Extrema-dune-fonction

Le 20-03-2019

La dérivation

Dérivation et étude de fonctions
Extrema d’une fonction
Définition
Intervalle ouvert
Un intervalle ouvert est un intervalle de la forme
]a; b[, ]a; +∞[, ] − ∞; b[ ou ] − ∞; +∞[ où a et b sont
des réels tels que a < b.
Propriété
Extrema d’une fonction dérivable
Soit f une fonction dérivable définie sur un
intervalle ouvert I, et a ∈ I.
• Si f admet un extremum (minimum ou
maximum) en a, alors f ′ (a) = 0.
• Si f ′ s’annule et change de signe en a, alors
f admet un extremum local en a.
Remarque
Il est important que  f ′ (x)  change de signe en a,
et non pas seulement qu’elle s’annule en a, pour
avoir un extremum en a.
• Par exemple, la fonction f (x) = x3 a pour
dérivée f ′ (x) = 3×2 qui s’annule en 0 sans
changer de signe.
• Or f n’admet pas d’extremum local en 0.

Propriété
Tangente en un extremum
Soit f une fonction dérivable définie sur un
intervalle ouvert I, admettant un extremum en un
réel a de I.
• Comme f ′ (a) = 0, la courbe représentative
de la fonction f
coordonnées

admet au point de

(a; f (a))

une

horizontale d’équation y = f (a).

tangente