NOTION Suites-arithmétiques

Le 20-03-2019

Suites

Suites arithmétiques et
géométriques
Suites arithmétiques
Définition
Suite arithmétique
• Une suite (un ) est arithmétique s’il existe un
réel r tel que pour tout entier naturel n pour
lequel la suite est définie : un+1 = un + r
• Le réel r est appelé raison de la suite (un ).
Exemple
La suite définie pour tout n ∈ N par :
{ u n+1 = un + 3
u0 = 2 est une suite arithmétique de raison 3 et
de premier terme 2.
Pour calculer un terme de cette suite, on ajoute 3
au terme précédent, par exemple :
• u0 = 2 ;
• u1 = u0 + 3 = 5 ;
• u2 = u1 + 3 = 8, etc.
Propriété
Expression explicite des termes d’une suite
arithmétique
• Soit une suite arithmétique (un ) de raison r
et de premier terme u0 :
– Pour tout n ∈ N, un = u0 + nr
• De façon générale, à partir d’un rang 
quelconque P :
– Pour tout n ≥ p, un = up + (n − p)r
Exemple
• En reprenant la suite définie précédemment
par :
{ u n+1 = un + 3
u0 = 2
L’expression explicite du terme général un
est : un = 3n + 2.
• La suite définie de façon explicite pour tout
n ∈ N par vn

= 5 − 2n est une suite

arithmétique de raison −2 et de premier
terme v0 = 5.
Propriété
Sens de variation d’une suite arithmétique
Soit (un ) une suite arithmétique de raison  r.
• Si r

>

0, la suite (un ) est strictement

croissante.
• Si r

<

0, la suite (un ) est strictement

décroissante.
• Si r = 0, la suite (un ) est constante.
Propriété
Représentation

graphique

d’une

suite

arithmétique
Les points An (n; un ) constituant la représentation
graphique

d’une

suite

arithmétique

sont

alignés.
Exemple

Propriété
Somme des premiers termes d’une suite
arithmétique
Soit (un ) une suite arithmétique de raison r et de
premier terme u0 . Alors pour tout n ∈ N :
(n+1)(u0 +un )
2

• u0 + u1 + · · · + un =
Exemple

Calculer la somme des 10 premiers entiers S = 1 +
2 + 3 + … + 10.
• En posant un = n (suite arithmétique de
raison 1), on a d’après ce qui précède :
– 1 + 2 + ··· + n =

n(n+1)
2

– Ici n = 10, donc S = 1 + 2 + 3 + … + 10 =
10×(10+1)
2

– S = 55

Somme de termes consécutifs d’une suite
arithmétique
La somme de termes consécutifs d’une suite
arithmétique se calcule selon la formule :
• nombredetermes ×

premierterme+dernierterme
2

Exemple
• Calculer la somme S = u7 + u8 + …. + u20
des termes de la suite arithmétique définie
précédemment par :
{ u n+1 = un + 3
u0 = 2
– L’expression explicite du terme général
est un = 3n + 2.
– Nombres de termes :

la somme à

calculer comprend 20−7+1 = 14 termes.
– Premier terme de cette somme : u7 =
3 × 7 + 2 = 23.
– Dernier terme de cette somme : u20 =
3 × 20 + 2 = 62.
•   D’après la propriété ci-dessus :
– S

=

nombredetermes

premierterme+dernierterme
2

• D’où : S =

14(23+62)
2

= 595

×