NOTION Sens-de-variation-d’une-suite-numérique

Le 20-03-2019

Suites

Les suites numériques
Sens de variation d’une suite numérique
Définition
Suite croissante, suite décroissante, et suite
monotone
Une suite (un ) est :
• croissante si pour tout n ∈ N, un ≤ un+1 ;
• strictement croissante si pour tout n ∈ N,
un un+1 ;
• monotone

(respectivement

monotone)

si

elle

est

strictement

croissante

ou

décroissante (respectivement strictement
croissante ou strictement décroissante).
Définition
Suite constante
Une suite (un ) est constante si pour tout n ∈ N,
un = un+1
Remarque
• Étudier le sens de variation d’une suite
revient donc à comparer deux termes
consécutifs un et un+1 .
• On pourra pour cela étudier le signe de
un+1 − un .
Exemple
• La suite définie par un = npourtoutn ∈ N est
strictement croissante car :
– un = n, un+1 = n + 1 or pour tout n ∈
Nn + 1 > n donc un < un+1
• La suite définie par récurrence pour tout n ∈
N par :
{ u n+1 = un − 1
u0 = 3 est strictement décroissante car pour tout
n ∈ N, un+1 = un − 1 et un − 1 < un donc un+1 −1 donc u0 > u1
– u2 = 1 et u1 = −1 or 1 > −1 donc u2 > u1
• De façon générale, on constate que si n est
pair, alors n + 1 est impair et donc :
– un = 1 et un−1 = −1 or 1 > −1 donc un >
un−1
• En revanche, si n est impair, alors n + 1 est
pair et donc :
– un = −1 et un−1 = 1 or −1 < 1 donc un <
un−1
Propriété
Sens

de

variation

d’une

suite

définie

explicitement par une relation du type un = f (n)
Soit (un ) une suite définie par : un = f (n) pour tout
n ∈ N , où f est une fonction définie sur R+ .
• Si

f

est

croissante

(respectivement

strictement croissante) sur R+ alors (un )
est croissante (respectivement strictement
croissante).
• Si

f

est

strictement
(un )

est

décroissante
décroissante)
décroissante

(respectivement
sur

R+

alors

(respectivement

strictement décroissante).
Exemple
La suite (un ) définie, pour tout n ∈ N par un+1 =
−un + 5 et u0 = 2 est décroissante car la fonction
associée f définie par f (x) = −x + 5  est une
fonction affine décroissante sur R, donc sur R+ .