NOTION Suites-géométriques

Le 20-03-2019

Suites

Suites arithmétiques et
géométriques
Suites géométriques
Définition
Suite géométrique
• Une suite  (un ) est dite géométrique s’il
existe un réel q tel que pour tout entier
naturel n pour lequel la suite est définie :
– un+1 = q × un
• Le réel q est appelé raison de la suite (un )
Exemple
La suite définie pour tout n ∈ N par :
{ u n+1 = 2 × un
u0 = 3 est géométrique de raison 2.
Pour calculer un terme de cette suite, on multiplie
le précédent par la raison :
• u0 = 3 ;
• u1 = 2 × u0 = 2 × 3 = 6 ;
• u2 = 2 × u1 = 2 × 6 = 12, etc.
Propriété
Expression explicite des termes d’une suite
géométrique
• Soit une suite géométrique (un ) de raison q
et de premier terme u0 :
– Pour tout n ∈ N, un = u0 × q n
• De façon générale,

à partir d’un rang

quelconque P :
– Pour tout n ≥ p, un = up × q n−p
Exemple
• Soit (un ) la suite définie précédemment par
:
{ u n+1 = 2 × un
u0 = 3
• La forme explicite du terme général de cette
suite est un = 3 × 2n pour tout n ∈ N
• La suite (vn ) définie de façon explicite pour
5n
3

tout n ∈ N par vn =

est une suite

géométrique de raison q = 5 et de premier
terme u0 = 13 .
Propriété
Sens de variation de la suite géométrique
définie par un = q n , pourtoutn ∈ N
Soit (un ) la suite géométrique de raison  q > 0 et
de premier terme 1, telle que un = q n .
• Si q

1, la suite (un ) est strictement

>

croissante.
• Si 0 < q 1
• Cette suite est donc strictement croissante.
Propriété
Représentation

graphique

d’une

suite

géométrique
Les

points

An (n; un )

de

la

représentation

graphique d’une suite géométrique ne sont
pas alignés.

Propriété
Somme des premiers termes d’une suite
géométrique
Soit (un ) une suite géométrique de raison q et de
premier terme u0 . Alors pour tout n ∈ N :
• si q ̸= 1 : u0 + u1 + · · · + un = u0 ×

q n+1 −1
q−1

;

• si q = 1 : la suite est constante et u0 + u1 +
· · · + un = (n + 1) × u0 .
Exemple
Calculer la somme des n + 1 premiers termes de
la suite (un ) définie, pour tout n ∈ N par un = q n .
• (un ) est une suite géométrique de premier
terme u0 = 1 de raison q, d’après la propriété
ci-dessus :
– u0 = 1
Calculer la somme des 5 premiers termes de la
suite (un ) définie précédemment par :
{ u n+1 = 2 × un
u0 = 3
• En utilisant la propriété ci-dessus :
– u0 + u1 + · · · + u5 = 3 × 2 2−1−1 = 3(26 − 1) =
5+1

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Somme de termes consécutifs d’une suite
géométrique
La somme de termes consécutifs d’une suite
géométrique de raison q ̸= 1  est :
• premierterme ×

raisonnombredetermes−1
raison−1