NOTION Quartiles

Le 20-03-2019

Statistiques

Indicateurs de dispersion d’une série
statistique
Quartiles
Définition
Quartiles
Soit une série statistique ordonnée suivant les
valeurs croissantes du caractère étudié, d’effectif
total.
• Le premier quartile Q1 est la plus petite
valeur de la série telle qu’au moins 25 % des
valeurs de la série lui soient inférieures.
• Le troisième quartile Q3 est la plus petite
valeur de la série telle qu’au moins 75 % des
valeurs de la série lui soient inférieures.
Propriété
Détermination

des

quartiles

d’une

série

statistique
• Le premier quartile Q1 est la valeur du
caractère :
– de rang

n
4

si

n
4

est un entier ;

– de rang l’entier directement supérieur à
n
4

si

n
4

n’est pas un entier.

• Le troisième quartile Q3 est la valeur du
caractère :
– de rang

3n
4

si

3n
4

est un entier ;

– de rang l’entier directement supérieur à
3n
4

si

3n
4

n’est pas un entier.

Remarque
Contrairement à la médiane, les quartiles sont
toujours des valeurs atteintes par le caractère
étudié.
Définition
Diagramme en boite
Pour

rendre

compte

graphiquement

des

différents indicateurs d’une série, on reporte
ces données dans un diagramme en boîte
rassemblant sur un même schéma : le minimum,
le premier quartile, la médiane, le troisième
quartile, et le maximum de la série.

Remarque
Le diagramme en boîte est un outil très graphique
permettant de représenter synthétiquement
une série statistique et de la comparer avec
une autre. Il faut avoir en tête que 50 % de la
population se trouve « dans la boîte ».
Exemple
Notes obtenues en maths par les élèves d’une
classe de première ES :
Note

1

2

4

5

8

9

12

14

15

18

19

20

Effectif

4

3

2

1

1

2

1

3

2

3

2

5

  En reprenant notre exemple, traçons le diagramme en boîte. Pour cela, il nous faut :
• les quartiles :

l’effectif total est : n = 29 élèves ;

n = 29 = 7, 25 : l’entier immédiatement supérieur à 7, 25 est 8 ;
4
4

les notes étant rangées en ordre croissant, le 1er  quartile Q1 est la note du
8e  élève, soit Q1 = 4 ;

3 × 7, 25 = 21, 75 : l’entier immédiatement supérieur à 21, 75 est 22 ;

le 3e  quartile est la note du 22e élève, d’où Q3 = 18.

• les notes extrêmes :

la note la plus basse est 1, la meilleure note, 20.

• la médiane :

nous l’avons calculée précédemment : m = 14.

L’importante longueur de la « boîte » vis-à-vis de la longueur du diagramme révèle une dispersion
importante des notes de notre exemple.

Définition
Écart interquartile
Soit une série statistique de premier et troisième
quartiles Q1 et Q3 .
• On appelle écart interquartile la différence :
I = Q3 − Q1 .
Propriété
Caractérisation de la dispersion d’une série et
écart interquartile
Plus les valeurs d’une série sont dispersées, plus
l’écart interquartile est grand.
Exemple
En restant toujours sur le même exemple,
calculons l’écart interquartile : I = Q3 − Q1 = 18 −
4 = 14
• 14,

vis-à-vis

de

l’amplitude

des

notes

possibles (0 à 20) est très grand, ce qui
confirme la forte dispersion des résultats.
• Cette donnée indique au professeur que,
certes, la médiane est correcte (14), mais
qu’elle cache des résultats très dispersés, et
n’est donc pas représentative de toute la
classe : un grand nombre d’élèves pourrait
être en difficulté.
Remarque
• Donner ensemble, la médiane et l’écart
interquartile

permettent

de

résumer

en deux valeurs simples les principales
caractéristiques d’une série : sa tendance
centrale (médiane), et sa dispersion (espace
interquartile). Ils ne sont pas influencés par
les valeurs extrêmes de la série (ce qui est
parfois un atout).
• Il est alors aisé de comparer deux séries
similaires entre elles (ex. : les résultats de
deux classes sur un devoir commun).