DEMO Caractériser-une-série-statistique-à-l’aide-de-sa-moyenne-et-de-son-écart-type

Le 20-03-2019

Statistiques

Caractériser une série statistique à
l’aide de sa moyenne et de son
écart-type
Une étude visant à étudier la taille des françaises adultes
a été menée sur un échantillon de 500 personnes. Les
résultats sont consignés dans le tableau suivant :
 

Taille (cm)

[120; 130[[130; 140[[140; 150[[150; 160[[160; 170[[170; 180[[180; 190[[190; 20

Effectif

3

7

34

113

216

98

27

2

Calculer la moyenne x̄ de la série.
Calculer l’écart-type σ de la série statistique.
Interpréter les résultats obtenus.

Etape 1 : Déterminer le centre de chaque
classe
• Dans le cas, comme ici, d’une série dont les
données sont regroupées en classes, il convient
d’assimiler chaque classe à son centre.
• Celui-ci s’obtient en faisant la demi-somme des
extrémités de chaque classe :
– par exemple,
130+120
2

pour la première classe :

= 125

• On obtient alors le tableau suivant :

Etape 2 : Appliquer la formule de la moyenne
• x̄ =

n1 x1 +n2 x2 +…+np xp
n

=

1
n

∑p
i=1

ni xi

• Pour calculer la moyenne, il faut :
– multiplier tour à tour les valeurs avec leurs
effectifs correspondants ;
– sommer tous ces produits ;
– diviser cette somme par l’effectif total : ici, n =
500.
• Donc dans cet exemple :
– x̄ =

3×125+7×135+34×145+113×155+216×165+98×175+27×
500

– x̄ ≈ 164 cm

Etape 3 : Calculer la variance
• Pour calculer l’écart-type, il est nécessaire de
connaître la variance de la série :
∑p

• V =

1
2
2
2
2
n (n1 x1 + n2 x2 + … + np xp ) − x̄

• V =

3×1252 +7×1352 +34×1452 +113×1552 +216×1652 +98×1752 +27×
n

=

1
n

i=1

ni x2i − x̄2

x̄2
• V ≈ 117, 5

Etape 4 : En déduire l’écart-type de la série
• σ=



V ≈ 117, 5 ≈ 10, 8 cm

Remarque :

l’écart-type a la même unité que les

valeurs d’origine, c’est pourquoi il est très utile pour
l’interprétation du résultat.

Etape 5 : Interpréter pour conclure
• Ainsi, la taille moyenne des françaises est de 1, 64 m,
avec des variations de l’ordre de 10, 8 cm autour de
cette moyenne.
• Cette variation étant faible vis-à-vis de la valeur de
la moyenne, on peut dire que les valeurs sont peu
dispersées, la taille des femmes françaises est donc
relativement homogène.