NOTION Fonction-trinôme-du-second-degré

Le 20-03-2019

Second degré

Fonction trinôme du second degré
Définition
Fonction trinôme du second degré
On dit qu’une fonction f définie sur R est une
fonction trinôme du second degré s’il existe trois
réels a, b et c avec a ̸= 0 tels que, pour tout réel x,
f (x) = ax2 + bx + c.
Remarque
On parle aussi de fonction polynôme du second
degré.
Exemple
Les fonctions f , g et h définies sur R par f (x) =
−2×2 + 4x − 8, g(x) = 7×2 + 9 et h(x) = −0, 25×2 + 18x
sont des fonctions trinômes du second degré.
Définition
Discriminant d’un trinôme
Soit f la fonction trinôme du second degré définie
sur R par f (x) = ax2 + bx + c.
Le réel ∆ = b2 − 4ac est appelé discriminant du
trinôme.
Remarque
Attention dans le calcul du discriminant, même si
b est négatif, b2 est positif !
Exemple
Soit f , g et h les fonctions définies respectivement
sur R par f (x) = 2×2 − 4x + 9, g(x) = −3×2 + 9x − 1,
h(x) = 2×2 + 5.
Alors :
• ∆f = (−4)2 − 4 × 2 × 9 = 16 − 72 = −56
• ∆g = 92 − 4 × (−3) × (−1) = 81 − 12 = 69
• ∆h = 02 − 4 × 2 × 5 = 0 − 40 = −40
Propriété
Forme canonique d’un trinôme du second
degré
Soit f une fonction trinôme du second degré,
définie sur R par f (x) = ax2 + bx + c.
Il existe deux réels α et β tels que, pour tout réel x,
f (x) = a(x − α)2 + β.
On démontre que :
b
• α = − 2a
;

• β = f (α) = − 4a
.

L’écriture f (x) = a(x − α)2 + β est appelée forme
canonique du trinôme.
Exemple
Déterminer la forme canonique des fonctions f
et g définies sur R par f (x) = −3×2 − 12x + 15 et
g(x) = 4×2 − 4x − 24.
• On utilise les formules ci-dessus pour
déterminer la forme canonique de la
fonction f .
– αf = −

(

−12
2×(−3)

)

= −2

– βf = f (−2) = −3×(−2)2 −12×(−2)+15 =
−3 × 4 + 24 + 15 = −12 + 39 = 27
• Ainsi, pour tout réel x, f (x) = −3(x − (−2))2 +
27 = −3(x + 2)2 + 27.
• Pour la fonction g, on utilise une identité
remarquable, en ayant au préalable factorisé
par a = 4.

g(x) = 4×2 − 4x − 24
= 4(x2 − x) − 24
[
= 4 x2 − 2 × x ×

=4

[(

x−

)
1 2
2

1
4

1
2

]

+

( 1 )2
2

( 1 )2 ] 2

− 24

(
)2
= 4 x − 21 − 1 − 24
(
)2
= 4 x − 12 − 25

Remarque
Il sera souvent plus simple et rapide d’utiliser les
formules données ci-dessus que de factoriser.
Propriété
Variations d’un trinôme du second degré
Avec les notations des propriétés et définitions
précédentes.
• Si a

0, la fonction f est strictement

décroissante sur ] − ∞ ; α] et strictement
croissante sur [α ; + ∞[.
On

obtient

alors

les

tableaux

variations ci-contre. La fonction f

de

admet un

:
• maximum si a 0.

Exemple
On modélise le bénéfice d’une entreprise, en
euros, par la fonction B définie sur [0 ; 50] par
B(x) = −0, 25×2 + 21x − 316.

x est le nombre

d’objets vendus.
Déterminer

combien

d’objets

doit

vendre

l’entreprise pour que son bénéfice soit maximal,
ainsi que le bénéfice maximal.
• On détermine d’abord α :
21
– α = − 2×(−0,25)

• On calcule ensuite β :
– β = B(42) = −0, 25 × 422 + 21 × 42 − 316 =
−441 + 882 − 316 = 125
• Ainsi, pour tout x de [0 ; 50], on a B(x) =
−0, 25(x − 42)2 + 125.
• Puisque a = −0, 25 < 0, le bénéfice admet un
maximum, atteint en x = α.
• Ainsi, l’entreprise doit vendre 42 objets pour
que son bénéfice soit maximal, et le bénéfice
maximal est alors de 125 euros.
Propriété
Courbe représentative d’une fonction trinôme
du second degré
La courbe représentative d’une fonction trinôme
du second degré est une parabole dont le
sommet S a pour coordonnées (α ; β). La droite
d’équation x = α est axe de symétrie de cette
courbe.