NOTION Nombre-dérivé

Le 20-03-2019

Dérivation

Nombre dérivé et tangente
Nombre dérivé
Définition
Taux d’accroissement
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de
R.
On considère deux réels a appartenant à I et h
non nul tel que a + h appartienne à I.
On appelle taux d’accroissement de f entre a et h
le réel

f (a+h)−f (a)
.
h

Exemple
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x2 − x + 1.
Calculer le taux d’accroissement de f entre 1 et 3
(on prend donc ici a = 1 et h = 2).  
• On calcule f (1) et f (3) :
– f (1) = 12 − 1 + 1 = 1 − 1 + 1 = 1
– f (3) = 32 − 3 + 1 = 9 − 3 + 1 = 7
• On calcule le taux d’accroissement de f
entre 1 et 3 :

f (3)−f (1)
3−1

= 7 − 12 = 3

• Le taux d’accroissement de f entre 1 et 33
est égal à 3.
Remarque
Soit Cf la courbe représentative de la fonction f .
On appelle A le point de Cf d’abscisse a et H le
point de Cf d’abscisse a + h.
Alors le taux d’accroissement de f en a est le
coefficient directeur de la droite (AH).

Définition
Nombre dérivé
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et
soit a un réel appartenant à I.
On dit que f est dérivable en a si le taux
d’accroissement de f en a admet une limite finie
lorsque h tend vers 0.
On note f ′ (a) le nombre dérivé de f en a.
Remarque
En pratique, on calcule le taux d’accroissement de
f en a et on donne des valeurs proches de 0 à h.
Si on obtient des valeurs qui se rapprochent d’un
nombre fini lorsque h se rapproche de 0, alors la
fonction est dérivable en a.
Exemple
Étudier la dérivabilité en 0 des fonctions définies

sur [0 ; 10] par f (x) = x2 − 1 et g(x) = x.  
• On calcule d’abord le taux d’accroissement
de chacune des fonctions en 0 :

f (0+h)−f (0)
h
2

h
h

(0+h)2 −1−(02 −1)
h

=

=

h2 −1+1
h

=

=h

g(0+h)−g(0)
h

=


0+h− 0
h

=


√ h√
h× h

=

√1
h

• On donne maintenant des valeurs se
rapprochant de 0 à h :
h
f (0+h)−f (0)
h
g(0+h)−g(0)
h

−0, 1

−0, 01

−0, 001

0, 1

0, 01

−0, 1

−0, 01

−0, 001

0, 1

0, 01

 

 

 

√1

0,1
3, 16

√1
=
0,01
10

0, 001
0, 001
√ 1

0,001
31, 6

• Ainsi, la fonction f est dérivable en 0 et f ′ (0) = 0. La fonction g n’est quant à elle pas
dérivable en 0.