NOTION Extremums-d’une-fonction

Le 20-03-2019

Dérivation

Lien entre dérivation et variations
Extremums d’une fonction
Définition
Extremum local
Soit a et b deux réels. Un intervalle ouvert est un
intervalle de la forme ]a ; b[, ] − ∞ ; b[, ]a ; + ∞[ ou
] − ∞ ; + ∞[.
On dit qu’une fonction f définie sur un intervalle
I admet un extremum local en un réel a de I s’il
existe un intervalle ouvert J contenu dans I tel
que f admette en a un extremum sur J.
Autrement dit, f admet un extremum local en a
si a n’est pas une borne de l’intervalle I.
Propriété
Extremum d’une fonction
• Si f admet un extremum en a, alors f ′ (a) = 0.
• Si f ′ s’annule en changeant de signe en a,
alors f admet un extremum local en a.

Remarque
La condition « s’annule en changeant de signe
» est très importante. En effet, si l’on considère
la fonction cube, la dérivée s’annule en 0 (sans
changer de signe), mais la fonction cube n’admet
pas d’extremum local en 0 car elle est strictement
croissante sur R.
Exemple
Le cout de production en euros de x objets est
modélisé par la fonction C définie sur [1 ; 10] par
C(x) = 0.1×3 − x2 + 5x. Le cout moyen de x objets
est alors modélisé par la fonction CM définie sur
[1 ; 10] par CM (x) =

C(x)
x .

Déterminer le nombre d’objets que doit produire
l’entreprise pour que le cout moyen soit minimal.
 
• On exprime pour commencer CM (x) en
fonction de x :
– CM (x) =

C(x)
x

=

0.1×3 −x2 +5x
x

= 0.1×2 −x+5

• La fonction CM est une fonction trinôme du
second degré, elle est donc dérivable sur

[1 ; 10] et on a CM
(x) = 0.1 × 2x − 1 = 0.2x − 1.

• On étudie le signe de CM
(x) (cf.

tableau

ci-contre)
• On calcule les images de 1, 5 et 10 par la
fonction CM :
– CM (1) = 0.1 × 12 − 12 + 5 = 4.1
• On obtient de même CM (5)

=

2.5 et

CM (10) = 5.
• On obtient alors ci-contre le tableau de
variations de la fonction CM .
La fonction CM admet donc un minimum local en
5 : l’entreprise doit produire 5 objets pour que le
cout moyen soit minimal.